1. Biểu diễn hình học

Số phức $z=x+iy$ được đống nhất với điểm có tọa độ $(x;y)$, khi đó mặt phẳng $Oxy$ được gọi là mặt phẳng phức.

2. Biểu diễn lượng giác

Ta có biểu diễn $\begin{cases}x=r\cos\varphi\\y=r\sin\varphi\end{cases}$ với \begin{align}
&r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}\text{ là mô-đun của số phức }z,\\
&\text{Arg}z=\varphi+2k\pi,\,k\in\mathbb Z\text{ là argument của số phức }z.
\end{align} Do đó: $$z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi).$$

Ví dụ: Tập hợp các số phức $z$ thỏa mãn $|z-2|=3$ tương ứng với tập các điểm có khoảng cách đến điểm $I(2;0)$ bằng 3, tập hợp này là đường tròn tâm $I$, bán kính 3.

Góc $\varphi$ được xác định bởi $\begin{cases}\tan\varphi=y/x\\\cos\varphi=\dfrac{x}{r}\end{cases}$. Giá trị $\text{Arg}z$ thuộc $[-\pi,\pi]$ được gọi là argment chính, kí hiệu là $\text{arg}z\in[-\pi,\pi]$.

3. Biểu diễn mũ

Ta có công thức Euler: $e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi$ nên từ dạng lượng giác, ta có thể biểu diễn số phức dưới dạng mũ là $$z=re^{i\varphi}.$$

1. Bằng nhau

$z_1=z_2\Leftrightarrow \begin{cases}x_1&=x_2\\y_1&=y_2\end{cases}$.

2. Cộng

$z_1+z_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)$.

3. Trừ

$z_1-z_2=(x_1-x_2)+i(y_1-y_2).$

4. Nhân

$z_1\cdot z_2=(x_1+iy_1)\cdot(x_2+iy_2)=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+y_1x_2).$

5. Chia

Nghịch đảo của số phức $z\neq 0$ là số phức kí hiệu $\dfrac{1}{z}$ hay $z^{-1}$ thỏa mãn điều kiện $z.z^{-1}=1$. Vậy nếu gọi $z^{-1}=a+ib$ thì $$\begin{cases}xa-yb&=1\\ya+xb&=0\end{cases}\Rightarrow a=\dfrac{x}{x^2+y^2},\quad b=\dfrac{-y}{x^2+y^2}.$$ Vậy $$\dfrac{z_1}{z_2}=z_1\cdot z_2^{-1}=(x_1+iy_1)\left(\dfrac{x_2}{x_2^2+y_2^2}-i\dfrac{y_2}{x_2^2+y_2^2}\right)=\dfrac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+i\dfrac{y_1x_2-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2},\quad z_2\neq 0.$$

6. Lũy thừa

$z^n=r^ne^{in\varphi}=r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)$.

7. Khai căn

Căn bậc $n$ của số phức $z$ có $n$ giá trị, chú ý vì hàm $\sin, \cos$ là hàm tuần hoàn với chu kì $2k\pi$ nên $e^{i\theta}=e^{i(\theta+2k\pi)}$ với $k\in\mathbb Z$.