Skip navigation

2.3. Hàm giải tích, hàm điều hòa

Định nghĩa

Hàm giải tích

Hàm phức đơn trị $f(z)$ được gọi là hàm giải tích (chỉnh hình) tại điểm $z_0$ nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc một lân cận nào đó của $z_0$.

Hàm $f(z)$ giải tích trên miền $D$ nếu nó giải tích tại mọi điểm của $D$.

Hàm $f(z)$ khả vi tại mọi điểm của miền $D$ thì giải tích trên $D$.

Hàm điều hòa

Hàm thực $u(x,y)$ đơn trị trong miền $D$ của hai biến thực $(x, y)$ được gọi là hàm điều hòa trong miền $D$ nếu trong miền $D$ nó liên tục, có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục và thỏa mãn phương trình $$\Delta u = \dfrac{\partial^2u}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2u}{\partial y^2} = 0.$$

Ví dụ: Hàm $u(x,y)=x^2-y^2$ có $u^{''}_{x^2}+u^{''}_{y^2}=2-2=0$, nên $u(x,y)$ là hàm điều hòa.

Xây dựng hàm phức giải tích từ các hàm thực 2 biến điều hòa

Định nghĩa: Nếu các hàm điều hòa $u(x, y)$ và $v(x, y)$ thỏa mãn các điều kiện Cauchy-Riemann, khi ấy ta nói cặp hàm $(u, v)$ là liên hợp hay $v$ được gọi là liên hợp với $u$.

Chú ý: $(u,v)$ là liên hợp khác với $(v,u)$ là liên hợp. Với $(u,v)$ là liên hợp thì điều kiện C-R là $u'_x=v'_y$ và $u'_y=-v'_x$ còn cặp $(v,u)$ là liên hợp có nghĩa điều kiện C-R ở đây là $v'_x=u'_y$ và $v'_y=-u'_x$.

Định lý: Giả sử $u,v$ là cặp hàm điều hòa. Khi ấy, hàm phức $f(z) = u + iv$ là hàm giải tích khi và chỉ khi cặp hàm $(u,v)$ là liên hợp.

Giả sử $u$ là một hàm điều hòa trong miền đơn liên $D$, khi đó $$v(x,y) = -\int_{x_0}^x \dfrac{\partial u}{\partial y}(t,y_0)dt + \int_{y_0}^y \dfrac{\partial u}{\partial x}(x,t)dt + C, \quad (x_0,y_0)\in D$$ liên hợp với $u$.

Ví dụ: Cho $u=xy$. Tìm $f(z)=u+iv$ giải tích trong cả mặt phẳng.