Định lí 1.
Giả sử $f(z)$ giải tích trong miền $\overline{D}=D\cup \partial D$ (có thể đa liên) và khả tích trên biên $\partial D$. Khi đó, với mọi $a\in D$ ta có: $$f(a)=\dfrac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D}\dfrac{f(z)}{z-a}dz$$ tích phân được lấy theo chiều dương của $\partial D$.
Chú ý: Giả sử $f(z)$ giải tích trong miền $\overline{D}$ và khả tích trên biên $\partial D$. Khi đó $$ \oint\limits_{\partial D}\dfrac{f(z)}{z-a}dz=\begin{cases}2\pi if(a),&\text{ nếu }a\in D,\\0,&\text{ nếu }a\notin\overline{D}.\end{cases}$$ Ví dụ: Tính $\oint\limits_\gamma \dfrac{dz}{z(z-1)}$ với $\gamma=\{z\in\mathbb C:|z-1|=2\}$.
Bước 1
Nhận xét: có 2 điểm $z_1=0, z_2=1$ là những điểm thuộc miền $D$ (miền được bao quanh bởi đường tròn $\gamma$ tâm tại $I(1,0)$ bán kính 2), như vậy hàm lấy tích phân $\dfrac{1}{z(z-1)}$ không giải tích tại $z_1,z_2$.
Bước 2
Hướng giải quyết: có 2 cách
Cách 1: sử dụng Hệ quả 2 của Định lí tích phân Cauchy ta có $$\oint\limits_\gamma \dfrac{dz}{z(z-1)}=\oint\limits_{C_0} \dfrac{dz}{z(z-1)}+\oint\limits_{C_1} \dfrac{dz}{z(z-1)}$$ trong đó $C_a$ là đường trong tâm $a$ bán kính $r$ đủ nhỏ sao cho $C_a\subset D$, ta chọn bán kính sao cho các đường tròn này không có phần chung.
Cách 2: phân tích $\dfrac{1}{z(z-1)}=\dfrac{1}{z-1}-\dfrac{1}{z}$, khi đó $$\oint\limits_\gamma \dfrac{dz}{z(z-1)}=\oint\limits_\gamma \dfrac{dz}{z-1}-\oint\limits_\gamma \dfrac{dz}{z}.$$
Bước 3:
Giải chi tiết:
Cách 1: sử dụng Định lí 1 ở trên ta có \begin{align}\oint\limits_\gamma \dfrac{dz}{z(z-1)}&=\oint\limits_{C_0} \dfrac{dz}{z(z-1)}+\oint\limits_{C_1} \dfrac{dz}{z(z-1)}\\&=\oint\limits_{C_0} \dfrac{\frac{1}{z-1}}{z}dz+\oint\limits_{C_1} \dfrac{\frac{1}{z}}{z-1}dz=2\pi i \left.\dfrac{1}{z-1}\right|_{z=0}+2\pi i \left.\dfrac{1}{z}\right|_{z=1}=0\end{align}
| Cách 2: sử dụng Định lí 1 ở trên ta có $$\oint\limits_\gamma \dfrac{dz}{z(z-1)}=\oint\limits_\gamma \dfrac{dz}{z-1}-\oint\limits_\gamma \dfrac{dz}{z}=2\pi i-2\pi i=0.$$ |
