Trung bình mẫu (kì vọng mẫu)
Xét mẫu ngẫu nhiên $(X_1, · · · , X_n)$ của BNN $X$, thống kê $$\overline{X}=\dfrac{1}{n}(X_1+X_2+...+X_n)=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} X_i$$ gọi là trung bình mẫu. Với mẫu cụ thể $(x_1, · · · , x_n)$ thì: $$\overline{x}=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} x_i$$ là giá trị mà trung bình mẫu nhận được ứng với mẫu đã cho.
Xét mẫu ngẫu nhiên có dạng điểm
| $X$ |
$X_1$ |
$X_2$ |
$\cdots$ |
$X_k$ |
| $n_i$ |
$n_1$ |
$n_2$ |
$\cdots$ |
$n_k$ |
Khi đó $\overline{X}=\dfrac{n_1X_1+n_2X_2+\cdots+n_kX_k}{n_1+n_2+\cdots+n_k}$
Xét mẫu ngẫu nhiên dạng khoảng thì $$ \overline{X}=\dfrac{n_1X^*_1+n_2X^*_2+\cdots+n_kX^*_k}{n_1+n_2+\cdots+n_k}, \text{với }X^*_i=\dfrac{X_i+X_{i+1}}{2}. $$
Do $X_1,\cdots, X_n$ là các ĐLNN độc lập cùng phân phối như $X$ nên $\overline{X}$ là một ĐLNN. Theo tính chất của kì vọng và phương sai ta có: \begin{align}E(\overline{X})&=\dfrac{1}{n}E\left(\sum\limits_{i=1}^nX_i\right)=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nE(X_i)=\dfrac{n.E(X)}{n}=E(X),\\D(\overline{X})&=\dfrac{1}{n^2}D\left(\sum\limits_{i=1}^nX_i\right)=\dfrac{1}{n^2}\sum\limits_{i=1}^nD(X_i)=\dfrac{n.D(X)}{n^2}=\dfrac{D(X)}{n}.\end{align}
Từ công thức trên, do phương sai $D(\overline{X})$ bé hơn $n$ lần $D(X)$ nên các giá trị có thể có của $\overline{X}$ sẽ ổn định quanh kì vọng hơn các giá trị của $X$.
Phương sai mẫu, độ lệch chuẩn mẫu
Một cách tương tự trung bình mẫu, phương sai mẫu được định nghĩa là kì vọng của độ lệch bình phương các thành phần của mẫu với trung bình mẫu và kí hiệu $$ \hat{S}^2=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^2-(\overline{X})^2.$$ Nếu mẫu cho dưới dạng bảng thì $$ \hat{S}^2=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^k(x_i-\overline{X})^2n_i=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^kx_i^2n_i-(\overline{X})^2. $$
Do $\hat{S}^2$ là ĐLNN nên $E(\hat{S}^2)=\dfrac{n-1}{n}D(X)$. Để kì vọng của phương sai mẫu trùng với phương sai $D(X)$ của ĐLNN gốc ta cần phương sai mẫu có hiệu chỉnh là $$S^2=\dfrac{n}{n-1}\hat{S}^2=\dfrac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2=\dfrac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^nX_i^2-\dfrac{n}{n-1}(\overline{X})^2.$$
Chú ý:
- Thống kê $\hat{S}$ gọi là độ lệch chuẩn mẫu chưa hiệu chỉnh và $\hat{s}$ là giá trị của $\hat{S}$ với mẫu đã cho.
- Thống kê $S$ gọi là độ lệch chuẩn mẫu đã hiệu chỉnh và $s$ là giá trị của $S$ với mẫu đã cho.
