Đối với BNN rời rạc, mỗi giá trị của nó được gắn với một xác suất đặc trưng cho khả năng BNN nhận giá trị đó $p_i=P(X=x_i)$.

Bảng phân phối xác suất của $X$ có dạng sau:

Trong đó $x_1, x_2,\cdots,x_n$ là các giá trị của $X$.

Ví dụ: Một xạ thủ chỉ có 3 viên đạn. Anh ta được yêu cầu bắn từng phát cho đến khi trúng mục tiêu thì dừng bắn, biết rằng xác suất trúng của mỗi lần bắn là 0,6. Hãy lập bảng phân phối xác suất của số đạn cần bắn.

Hàm số $p(x) = P(X = x)$ với $x$ thuộc tập giá trị của $X$, thường được gọi là hàm xác suất của $X$ và có 2 tính chất cơ bản gồm: 

1. $p(x) \geq 0, \forall{x}$,
2. $\sum\limits_x p(x) =1$.

Định nghĩa: Hàm phân phối xác suất của BNN $X$, kí hiệu là $F(x)$, được xác định như sau: $F(x) = P(X < x), x \in\mathbb R$.

Từ định nghĩa trên, $F(x)$ phản ánh độ tập trung xác suất ở bên trái của số thực $x$. Trong trường hợp BNN rời rạc, cho ta một hàm còn được gọi là hàm phân phối tích lũy, tức là: $$F(x)=P(X=x_1)+...+P(x=x_{i-1}), x_{i-1} < x \leq x_i.$$

Ví dụ: Giả sử BNN $X$ có bảng phân phối xác suất như sau:

Từ bảng phân phối trên, ta có hàm phân phối: $$F(x)= \begin{cases} 0 &\text{với }x\leq1\\ 0,6 &\text{với }1<x\leq 2\\ 0,84 &\text{với }2<x\leq 3\\ 1&\text{với }x>3\end{cases}.$$

Tính chất:

1. $0 \leq F(x) \leq 1$,
2. Hàm $F(x)$ là hàm không giảm,
3. $F(-\infty)=\lim\limits_{x \to{-\infty}}F(x) =0;\quad F(+\infty)=\lim\limits_{x \to {+\infty}}F(x) =1$.

Định nghĩa: Hàm mật độ xác suất của BNN liên tục $X$, kí hiệu là $f(x)$, có hàm phân phối $F(x)$ khả vi (trừ ở một số hữu hạn điểm gián đoạn bị chặn), được xác định bằng $f(x) = F'(x)$.

Tính chất:

1. $f(x) \geq 0, \forall x$,
2. $F(x)= \int\limits_{-\infty}^{x} f(x)dx$,
3. $P(a\leq x <b)=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx$,
4. $\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x)dx=1$ .

Ví dụ: Xác định $m$ để hàm số  $f(x)= \begin{cases} 0&\text{với }x \notin [a, b]\\ m&\text{với }x \in [a, b] \end{cases}$ là hàm mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên $X$ nào đó?