Quy tắc cộng
Nếu có $m$ cách thực hiện hành động H, hoặc có $n$ cách khác thực hiện hành động H thì ta sẽ có $m + n$ cách thực hiện hành động H.
Chú ý: Ta sử dụng quy tắc cộng khi hành động H được thực hiện bởi hành động $H_1$ hoặc hành động $H_2$ hoặc… nói cách khác là các hành động thành phần không xảy ra cùng lúc.
Ví dụ: Các nhóm I, II lần lượt có 2, 3 học viên. Cần chọn 2 học viên cùng một nhóm. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
Phương án thứ nhất: Chọn 2 học viên nhóm I có $n_1=1$ cách.
Phương án thứ hai: Chọn 2 học viên nhóm I có $n_2=3$ cách.
Do đó, số cách chọn 2 học viên cùng nhóm là $n=1+3=4$ cách.
Quy tắc nhân
Nếu cách thực hiện hành động H gồm nhiều bước liên tiếp: ở bước 1 có $m_1$ cách, ở bước 2 có $m_2$ cách, …, ở bước $n$ có $m_n$ cách thì tất cả sẽ có $m_1.m_2\cdots m_n$ cách thực hiện hành động H.
Chú ý: Ta sử dụng quy tắc nhân khi hành động H được thực hiện đồng thời bởi các hành động $H_1$, $H_2$,… nói cách khác là các hành động thành phần xảy ra cùng lúc.
Ví dụ: Để đi từ thành phố A đến thành phố C phải qua thành phố B. một trong bốn cách để đi từ A đến B là: đường bộ, đường sắt, đường không và đường thủy. Có một trong hai cách để đi từ B đến C là: đường bộ, đường sắt. Hỏi có bao nhiêu cách đì từ A đến C?
Để đi từ A đến C ta phải thực hiện liên tiếp một dãy 2 hành động:
Hành động thứ nhất: để đi từ A đến B có $n_1=4$ cách.
Hành động thứ hai: để đi từ B đến C có $n_2 = 2$ cách.
Vậy, theo quy tắc nhân, số cách đi từ A tới C là $n=4.2=8$ cách.
Hoán vị
Định nghĩa: Một hoán vị của $n$ phần tử của tập $A$ là một nhóm có thứ tự đủ $n$ phần tử đã cho.
Ví dụ: Số cách xếp chỗ ngồi cho 4 người vào 1 bàn là: $4!=24$.
Định lí: Số các hoán vị của $n$ phần tử là: $P_n=1.2.3\cdots n=n!$.
Chú ý: Ở đây, ta chỉ quan tâm đến số các hoán vị có thể có được lập từ tập nào đó.
Chỉnh hợp
Định nghĩa: Một chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử của tập hợp A ($0 \leq k \leq n$) là một nhóm có thứ tự gồm $k$ phần tử khác nhau lấy ra từ $n$ phần tử đã cho.
Ví dụ: Số có 2 chứ số khác nhau được lập từ tập các số: 1, 2, 3.
Ta có các số: 12, 13, 21, 23, 31, 32.
Định lí: Số các chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử của tập hợp A là: $A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}$
Ví dụ: Mỗi lớp trong học kỳ I phải học 12 môn khác nhau, mỗi ngày học 3 môn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp thời khóa biểu trong ngày?
Giải: Xếp 3 môn khác nhau trong số 12 môn là một sắp xếp có thứ tự. Như vậy, số cách xếp là: $A_{12}^3=\dfrac{12!}{(12-3)!}=1320$.
Chỉnh hợp lặp: Một chỉnh hợp lặp chập $k$ của $n$ phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự gồm $k$ phần tử mà mỗi phần tử lấy từ $n$ phần tử đã cho có thể có mặt nhiều lần. Số chỉnh hợp lặp chập $k$ của $n$ phần tử là $n^k$.
Ví dụ: Cửa của một nhà xe được mở trực tuyến bằng cách kích hoạt một mã gồm 12 kí tự nhị phân. Hỏi có bao nhiêu mã khả dĩ?
Giải: Vì mỗi kí tự là mã nhị phân nên có 2 cách chọn gồm số 0 hoặc 1. Số mã khả dĩ là số các chỉnh hợp lặp chập 12 của 2 phần tử nên có tất cả $2^{12}=4096$ mã.
Tổ hợp
Khi lấy ngẫu nhiên ra $k$ phần tử từ một tập gồm $n$ phần tử ($k \leq n$), sao cho hai cách lấy ra $k$ phần tử được gọi là khác nhau nếu giữa chúng có ít nhất 1 phần tử khác nhau (nghĩa là không phân biệt về thứ tự của các phần tử) thì: số cách lấy ra $k$ phần tử từ $n$ phần tử như trên được gọi là tổ hợp chập $k$ của $n$, kí hiệu là $C_n^k.$
Do đó: $$C_n^k=\dfrac{A_n^k}{k!}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}.$$ Ví dụ: Mỗi đề thi gồm có 5 câu hỏi khác nhau chọn từ ngân hàng 50 câu hỏi đã cho. Hỏi có thể thành lập được bao nhiêu đề thi khác nhau?
Mỗi đề thi sẽ chọn 5 câu từ 50 câu đã cho trong ngân hàng câu hỏi. Do chọn không kể thứ tự, không trùng nhau nên số cách chọn là tổ hợp chập 5 của 50.
Ta có: $C_50^5=\dfrac{50!}{5!(50-5)!}=2118760$.
