Định lí: Giả sử hàm gốc $f(t)$ có đạo hàm $f'(t)$ cũng là hàm gốc. Nếu $F(s)=L\{f(t)\}$ thì $$L\{f'(t)\}=sF(s)-f(0).$$ Tổng quát, nếu $f(t)$ có đạo hàm đến cấp $n$ cũng là hàm gốc thì $$L\{f^{(n)}(t)\}=s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0).$$ Nói riêng, khi $n=2$ thì $$L\{f^{''}(t)\}=s^2F(s)-sf(0)-f'(0).$$ Ví dụ: $L\{\cos at\}=L\left\{\dfrac{(\sin at)'}{a}\right\}=\dfrac{1}{a}.\dfrac{sa}{s^2+a^2}-\sin 0=\dfrac{s}{s^2+a^2}.$
Môn học: Toán chuyên đề
4.3. Ứng dụng của toán tử Laplace
Ứng dụng biến đổi Laplace trong giải phương trình vi phân
Xét pt vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng $$y^{''}(t) + a_1y'(t) + a_2y(t) = f(t), \quad a_i \in \mathbb R, i =1, 2.\tag{4.2}\label{4.2}$$ Tìm nghiệm $y(t)$ thỏa mãn điều kiện ban đầu $y(0) = y_0, y'(0) = y_1$.
Giả sử $y(t), y'(t), y^{''}(t), f(t)$ là các hàm gốc với $L\{y(t)\}=Y(s)$, $L\{f(t)\}=F(s)$. Khi đó $$L\{y'(t)\} = sY(s) - y_0; \quad L\{y^{''}(t)\} = s^2Y(s) - sy_0 - y_1.$$
Bước 1
Tác động toán tử $L$ vào 2 vế của phương trình \eqref{4.2} ta được $$F(s) = (s^2 + a_1p + a_2)Y(s) - sy_0 - y_1 - a_1y_0.$$
Bước 2
Ta suy ra $Y(s) = \dfrac{F(s) + sy_0 + y_1 + a_1y_0}{s^2 + a_1s + a_2}$.
Bước 3
Hàm $Y(s)$ được gọi là nghiệm toán tử của phương trình vi phân, hàm gốc $y(t)$ tương ứng là nghiệm cần tìm của phương trình vi phân.
Ví dụ: Giải phương trình vi phân sau $\begin{cases}y^{''} - 3y' + 2y = 2e^{3t}\\y(0) = 1, y'(0) = 3\end{cases}$.
Hãy giải và so sánh với đáp án (click show)
Bước 1
Ta có $L(2e^{3t}) = \dfrac{2}{s-3}$, tác động toán tử Laplace vào 2 vế của phương trình ta được $$s^2Y(s)-s-3-3(sY(s)-1)+2Y(s)=\dfrac{2}{s-3}\Leftrightarrow (s^2-3s+2)Y(s)-s=\dfrac{2}{s-3}.$$
Bước 2
Ta suy ra $Y(s)=\dfrac{\dfrac{2}{s-3}+s}{s^2-3s+2}=\dfrac{1}{s-3}$.
Bước 3
Sử dụng biến đổi ngược ta có nghiệm của hệ là $y(t)=e^{3t}$.
