Môn học: Toán chuyên đề
2.2. Điều kiện Cauchy-Riemann
Ví dụ:
Tìm những điểm khả vi của hàm $f(z)=z+ix^2$. Từ đó tính $f'(z)$.
Ta có hàm phần thực $u(x,y)=x$, hàm phần ảo $v(x,y)=x^2+y$ đều là các hàm khả vi với mọi $(x,y)\in\mathbb R^2$. Kiểm tra điều kiện C-R như sau: $$\begin{cases}u'_x=1=v'_y&\text{với mọi }(x,y)\\u'_y=0, -v'_x=-2x &\text{nên }x=0\end{cases}.$$
Vậy hàm $f(z)=z+ix^2$ khả vi tại những điểm có dạng $(0,y)$ với $y\in\mathbb R$.
Ta có $f'(0,y)=u'_x(0,y)+iv'_x(0,y)=1+i.2.0=1$.
Ví dụ về sự không khả vi của hàm phức vì các hàm thực không khả vi.
Xét hàm $$f(z) = \begin{cases}\dfrac{xy^2(x+iy)}{x^2 + y^4}& \text{nếu } z \neq 0\\0& \text{nếu } z = 0\end{cases}.$$
Ta có: $ \dfrac{\partial u}{\partial x}(0,0) = \dfrac{\partial v}{\partial y}(0,0) = \dfrac{\partial u}{\partial y}(0,0) = \dfrac{\partial v}{\partial x}(0,0) = 0.$ Nghĩa là điều kiện C-R được thỏa mãn tại điểm $(0,0)$.
Tuy nhiên $\lim\limits_{z\to 0} \dfrac{f(z) - f(0)}{z} = 0$ nếu $z \rightarrow 0$ dọc theo $y=kx$. Nhưng trên đường cong $x = y^2$ ta có $$ \lim\limits_{z \rightarrow 0}\dfrac{f(z) - f(0)}{z} = \dfrac{y^4}{y^4 + y^4} = \dfrac{1}{2}.$$ Giới hạn không duy nhất, chứng tỏ $f(z)$ không khả vi tại $z = 0$.
Sở dĩ hàm phức trên không khả vi tại điểm $(0,0)$ vì các đạo hàm riêng của hàm $u(x,y)$ và $v(x,y)$ không liên tục tại $(0,0)$ nên các hàm này không khả vi tại $(0,0)$, vi phạm điều kiện trong Định lí về điều kiện Cauchy-Riemann.
