Skip navigation

2.2. Điều kiện Cauchy-Riemann

Định lí

Nếu $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ khả vi tại $z_0=x_0+iy_0$ thì $u(x,y)$ và $v(x,y)$ khả vi tại $(x_0,y_0)$ và thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann $$ \dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y}\quad\text{và}\quad \dfrac{\partial u}{\partial y}=-\dfrac{\partial v}{\partial x}.$$

Ngược lại, nếu $u(x,y)$ và $v(x,y)$ khả vi tại $(x_0,y_0)$ và thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann thì $f(z)$ khả vi tại $z_0$ và $$ f'(z_0)=\dfrac{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0)+i\dfrac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0)=\dfrac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0)-i\dfrac{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0). $$

Giải thích điều kiện áp dụng định lý

Ví dụ:

Tìm những điểm khả vi của hàm $f(z)=z+ix^2$. Từ đó tính $f'(z)$.

Ví dụ về sự không khả vi của hàm phức vì các hàm thực không khả vi.

Xét hàm $$f(z) = \begin{cases}\dfrac{xy^2(x+iy)}{x^2 + y^4}& \text{nếu } z \neq 0\\0& \text{nếu } z = 0\end{cases}.$$

Ta có: $ \dfrac{\partial u}{\partial x}(0,0) = \dfrac{\partial v}{\partial y}(0,0) = \dfrac{\partial u}{\partial y}(0,0) = \dfrac{\partial v}{\partial x}(0,0) = 0.$ Nghĩa là điều kiện C-R được thỏa mãn tại điểm $(0,0)$.

Tuy nhiên $\lim\limits_{z\to 0} \dfrac{f(z) - f(0)}{z} = 0$ nếu $z \rightarrow 0$ dọc theo $y=kx$. Nhưng trên đường cong $x = y^2$ ta có $$ \lim\limits_{z \rightarrow 0}\dfrac{f(z) - f(0)}{z} = \dfrac{y^4}{y^4 + y^4} = \dfrac{1}{2}.$$ Giới hạn không duy nhất, chứng tỏ $f(z)$ không khả vi tại $z = 0$.

Sở dĩ hàm phức trên không khả vi tại điểm $(0,0)$ vì các đạo hàm riêng của hàm $u(x,y)$ và $v(x,y)$ không liên tục tại $(0,0)$ nên các hàm này không khả vi tại $(0,0)$, vi phạm điều kiện trong Định lí về điều kiện Cauchy-Riemann.