Định nghĩa: Kỳ vọng của BNN $X$, kí hiệu là $E(X)$, xác định như sau:

1. Nếu $X$ là BNN rời rạc có hàm xác suất $p(x_i) = p_i, i = 1,2, \cdots, n$ thì: $E(X) = \sum\limits_{i=1}^{n}x_i.p_i$;
2. Nếu $X$ là BNN liên tục có hàm mật độ xác suất $f(x), x \in\mathbb R$ thì: $E(X)= \int\limits_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx$.

Tính chất:

1. $E(C) =C,$  với $C$ là hằng số,
2. $E(C.X)=C.E(X)$,
3. $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$,
4. $E(X.Y)=E(X).E(Y)$ với $X, Y$ độc lập.

Ví dụ: Giả sử một cái bình đựng 10 quả cầu giống nhau nhưng khác nhau về trọng lượng: 5 quả nặng 1 kg, 2 quả nặng 2 kg, 3 quả nặng 3 kg. Lấy ngẫu nhiên từ bình ra 1 quả cầu và gọi X là trọng lượng của quả cầu đó. Tính $E(X)$?

Định nghĩa: Phương sai của BNN $X$, kí hiệu $D(X)$, được định nghĩa như sau: $D(X)=E[(X-E(X))^2]$.

Ta có thể biến đổi công thức trên thành: $D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2.$

Với $X$ là BNN rời rạc: $E(X^2)=\sum\limits_{i=1}^n x_i^2p_i$.

Với $X$ là BNN liên tục: $E(X^2)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} x^2f(x)dx$.

Ví dụ: Tính $D(X)$, với $X$ được cho ở bảng sau:

Giải: Ta có:  $E(X)= \sum\limits_{i=1}^{3}x_i.p_i=1.\dfrac{5}{10}+2\dfrac{2}{10}+3\dfrac{3}{10}=1,8$,

và $E(X^2)=\sum\limits_{i=1}^{3}x_i^2.p_i=1^2.\dfrac{5}{10}+2^2\dfrac{2}{10}+3^2\dfrac{3}{10}=4$,

nên $D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=4-(1,8)^2=4-3,24=0,76$.

Định nghĩa: Độ lệch chuẩn của BNN $X$, kí hiệu là $\sigma(X)$, được định nghĩa là $\sigma(X)=\sqrt{D(X)}$.

Độ lệch chuẩn được dùng thường xuyên hơn phương sai do có cùng đơn vị đo với chính BNN $X$.

Tính chất:

1. $D(C)=0$, với $C$ là biến ngẫu nhiên hằng,
2. $D(kX)=k^2D(X)$,với $k$ là hằng số.
3. $D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)$, với $X, Y$ là 2 BNN độc lập và $$\sigma(X\pm Y)=\sqrt{D(X)+D(Y)}\leq \sigma(X)+\sigma(Y).$$