Khái niệm hàm gốc

Định nghĩa: Hàm biến thực $f(t)$ được gọi là hàm gốc nếu thoả mãn 3 điều kiện sau:

1. $f(t)=0,\quad \forall t<0$,
2. $f(t)$ liên tục từng khúc trong $t\geq 0$,
3. $\exists M>0$, hệ số tăng trưởng $s_0\geq 0$ sao cho $|f(t)|\leq Me^{s_0t}, \forall t>0$.

Nhận xét: Nếu $s_0$ là hệ số tăng trưởng thì mọi số $s_1>s_0$ cũng là hệ số tăng trưởng.

Ví dụ:

1. Hàm bước nhảy đơn vị $$\eta(t)=\begin{cases}0&\text{nếu }t<0\\1&\text{nếu }t\geq 0\end{cases}.$$ Hàm bước nhảy đơn vị $\eta(t)$ liên tục với mọi $t\geq 0$, luôn tồn tại $M>1$ và có hệ số tăng trưởng $s_0=0$.
2. Các hàm sơ cấp cơ bản $f(t)$ (chẳng hạn $\sin t,\cos t, t^n,\cdots$) đều liên tục và không tăng nhanh hơn hàm mũ. Tuy nhiên những hàm này vẫn không phải hàm gốc vì không thỏa mãn điều kiện 1. của định nghĩa hàm gốc. Khi đó ta có hàm số $$f(t)\eta(t)=\begin{cases}0&\text{nếu }t<0\\f(t)&\text{nếu }t\geq 0\end{cases}.$$ là một hàm gốc. Như vậy để thuận tiện thì khi nhắc đến các hàm cơ bản, ta ngầm hiểu các hàm  này đã được nhân với hàm đơn vị để trở thành hàm gốc.

Khái niệm hàm ảnh

Định nghĩa: Với mỗi hàm gốc $f(t),\, t>0$, biến đổi Laplace của $f(t)$ được xác định: $$ L\{f(t)\}=F(s)=\int_0^\infty e^{-st}f(t)dt,\tag{4.1}\label{4.1}$$ ta nói $F(s)$ là hàm ảnh của phép biến đổi.

Chú ý:

1. Phép biến đổi Laplace của hàm số gọi là tồn tại nếu tích phân \eqref{4.1} hội tụ với giá trị $s$ thuộc miền nào đó. Trường hợp ngược lại ta nói phép biến đổi Laplace của hàm gốc $f(t)$ không tồn tại. Phép biến đổi Laplace là thực hay phức nếu biến số $s$ của hàm ảnh $F(s)$ là thực hay phức.
2. Ta thường ký hiệu các hàm gốc bằng các chữ thường $f(t), y(t),\cdots$ còn các biến đổi của nó bằng các chữ in hoa $F(s), Y(s),\cdots$

Ví dụ: Hàm $\sin t$ có hệ số tăng trưởng $s_0=0$ do đó biến đổi Laplace $$L\{\sin t\}=F(s)=\int_0^\infty e^{-st}\sin tdt\quad\text{tồn tại với mọi }s \text{ có Re}(s)>0.$$