3.2. Tích phân không phụ thuộc đường cong

Định lí: Điều kiện cần và đủ để tích phân của hàm $f (z)$ trong miền $D$ không phụ thuộc vào đường lấy tích phân là tích phân của $f (z)$ dọc theo mọi đường cong kín bất kỳ (không tự cắt nhau) trong $D$ phải bằng 0, tức là $\oint_{γ} f (z) d z = 0, với mọi γ \subset D .$

Đường cong kín không tự cắt (bên trong là miền kín đơn liên)

Đường cong kín có tự cắt

Ta có $0 = \int_{L} f (z) d z = \int_{L_{1}^{+}} f (z) d z + \int_{L_{2}^{+}} f (z) d z = \int_{L_{1}^{+}} f (z) d z - \int_{L_{2}^{-}} f (z) d z .$

Nên $\int_{L_{1}^{+}} f (z) d z = \int_{L_{2}^{-}} f (z) d z$ , hay tích phân không phụ thuộc vào đường đi, chỉ phụ thuộc vào điểm đầu $A$ và điểm cuối $B$ .

Định lí: Nếu hàm phức $f (z)$ giải tích trong miền đơn liên $D$ thì tích phân của $f (z)$ dọc theo mọi đường cong kín $γ$ bất kỳ trong $D$ đều bằng 0.

Hệ quả:

1. Nếu $f (z)$ giải tích trong miền kín, đơn liên $\overset{―}{D} = D \cup \partial D$ (gồm miền trong $D$ và biên $\partial D$ ) thì $\int_{\partial D} f (z) d z = 0$ .

2. Giả sử hàm

f (z)

giải tích trong

\overset{―}{D}

có biên ngoài là

Γ_{0}

và biên trong là

Γ_{1}, \dots, Γ_{n}

thì

\oint_{Γ_{0}} f (z) d z = \sum_{k = 1}^{n} \oint_{Γ_{k}} f (z) d z .

Tích phân trên biên kín của miền đa liên

Ví dụ: Tính tích phân $I_{n} = \oint_{L} \frac{d z}{(z - a)^{n}}, n \in Z$ trong đó $L$ là đường cong kín bất kỳ không đi qua $a$ .

Gọi $D$ là miền được giới hạn bởi $L$ . Ta có 2 trường hợp:

$a \notin D$ thì $f (z) = \frac{1}{(z - a)^{n}}$ giải tích trong $D$ nên $I_{n} = 0$ .
$a \in D$ . Gọi $C_{r} = {z \in C : | z - a | = r}$ là đường tròn tâm $a$ , bán kính $r$ . Chọn $r$ đủ bé để $C_{r} \subset D$ . Xét $D^{'}$ là miền nhị liên có được bằng cách lấy miền $D$ bỏ đi hình tròn tâm $a$ bán kính $r$ . $D^{'}$ có biên ngoài là $L$ , biên trong là $C_{r}$ . Hàm $f (z) = \frac{1}{(z - a)^{n}}$ giải tích trong $D^{'}$ . Theo hệ quả 2 ta có: $I_{n} = \oint_{L} \frac{d z}{(z - a)^{n}} = \oint_{C_{r}} \frac{d z}{(z - a)^{n}} .$ Phương trình tham số của $C_{r}$ là: $z = a + r e^{i t}$ với $t \in [0, 2 π]$ . Khi đó $I_{n} = \int_{0}^{2 π} \frac{r i e^{i t}}{r^{n} e^{i n t}} d t = {\begin{cases} i \int_{0}^{2 π} d t & khi n = 1 \\ \frac{1}{r^{n + 1}} \int_{0}^{2 π} e^{i (1 - n) t} d t & khi n \neq 1 \end{cases} = {\begin{cases} 2 π i & khi n = 1 \\ 0 & khi n \neq 1 \end{cases} .$

Trao đổi, thảo luận

Comments