Skip navigation

6.2. Quy tắc nhân xác suất

Xác suất có điều kiện

Ví dụ: Có 3 người A, B, C thi tuyển vào công ty. $A:$ "A thi đỗ", $B:$ "B thi đỗ", $C:$ "C thi đỗ", $H:$ "chỉ có 2 người thi đỗ".

Ta có: $P(A)=4/8$, $P(H)=3/8$,

Biến cố $A\cdot H:$ "2 người thi đỗ trong đó có A" và $P(A\cdot H)=2/8$.

Gọi biến cố $A|H:$ "A thi đỗ biết rằng có 2 người thi đỗ", khi đó $P(A|H)=\dfrac{2}{3}=\dfrac{P(A\cdot H)}{P(H)}$.

Định nghĩa: Giả sử trong một phép thử ta có $P(B)>0$. Khi đó xác suất của $A$ sau khi $B$ đã xảy ra được gọi là xác suất của $A$ với điều kiện $B$, kí hiệu $$ P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}.\tag{*}\label{6.2} $$

Hệ quả:

  1. Từ \eqref{6.2} ta suy ra $P(A\cap B)=P(A|B).P(B)$,
  2. Nếu coi $A$ là điều kiện thì ta cũng có $P(A\cap B)=P(B|A).P(A)$.

Để mô tả xác suất có điều kiện bằng tần suất, ta kí hiệu $n_A, n_B$ và $n_{AB}$ lần lượt là số lần xảy ra sự kiện $A, B$ và $A\cap B$ trong loạt $n$ phép thử với $n$ đủ lớn. Theo định nghĩa xác suất cổ điển, ta có $$P(A\cap B)=\dfrac{n_{AB}}{n}\quad\text{và}\quad P(B)=\dfrac{n_B}{n}.$$  Vì điều kiện $B$ đã xảy ra nên số kết quả có thể cho sự kiện $A$ là $n_B$, trong đó số kết quả thuận lợi cho sự kiện $A$ là $n_{AB}$. Do đó $$P(A|B)=\dfrac{n_{AB}}{n_B}=\dfrac{n_{AB}/n}{n_B/n}=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$

Tính chất: xác suất có điều kiện có các tính chất sau:

  1. $0\leq P(A|B)\leq 1$,
  2. $P(B|B)=1$,
  3. $P(\overline{A}|B)=1-P(A|B)$,
  4. $P(A_1\cup A_2|B)=P(A_1|B)+P(A_2|B)-P(A_1\cap A_2|B)$.

Ví dụ:  Một học viên thi 2 môn, xác suất đậu môn thứ nhất là 0,6. Nếu môn thứ nhất đậu thì khả năng học viên đó đậu môn thứ hai là 0,8. Nếu môn thứ nhất không đậu thì khả năng học viên đó đậu môn thứ hai chỉ là 0,6. Tính xác suất trong các trường hợp sau:

  1. Học viên đó đậu chỉ một môn.
  2. Học viên đó đậu 2 môn.

Định lý nhân xác suất

Hai sự kiện $A$ và $B$ được gọi là độc lập với nhau khi việc có hay không xảy ra sự kiện $B$ không ảnh hưởng gì đến việc có hay không xảy ra sự kiện $A$. Nói cách khác, xác suất của $A$ với điều kiện $B$ bằng với xác suất của $A$ khi không tính đến điều kiện $B$.

Ta có các kết quả sau:

  1. Nếu $A$ và $B$ là 2 biến cố độc lập thì $$P(A\cdot B)=P(A)P(B).$$
  2. Nếu $A$ và $B$ là 2 biến cố không độc lập (phụ thuộc) thì $$P(A\cdot B)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A).$$
  3. Nếu $n$ biến cố $A_i (i=1,2,\cdots, n)$ phụ thuộc thì $$ P(A_1A_2\cdots A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)\cdots P(A_n|A_1A_2\cdots A_{n-1}).$$

Ví dụ: Một lô 100 sản phẩm có 90 tốt và 10 phế phẩm. Kiểm tra ngẫu nhiên liên tiếp không hoàn lại 5 sản phẩm. Nếu có ít nhất 1 phế phẩm trong 5 sản phẩm kiểm tra đó thì không nhận lô hàng. Tìm xác suất để nhận lô hàng.