Các định nghĩa về xác suất
Định nghĩa xác suất dạng cổ điển
Giả sử một phép thử với $n$ kết quả đồng khả năng, trong đó có $m$ kết quả thuận lợi cho sự kiện $A$. Khi đó xác suất của sự kiện $A$, kí hiệu là $P(A)$, được cho bởi: $$P(A)=\dfrac{m}{n}=\dfrac{\text{số kết quả thuận lợi cho } A}{\text{Số kết quả đồng khả năng}}.$$
Ví dụ: Trong hộp đựng 20 viên đạn gồm 14 viên màu đỏ và 6 viên màu trắng. Lấy ngẫu nhiên (không hoàn lại) 5 viên đạn từ trong hộp. Tính xác suất để trong 5 viên đạn lấy ra có 3 viên đỏ. Biết rằng các viên đạn giống nhau.
Vì các viên đạn giống nhau, số khả năng có thể xảy ra khi lấy 5 viên trong 20 viên là $n=C_{20}^5$. Gọi $A$ là sự kiện trong 5 viên lấy ra có 3 viên màu đỏ và 2 viên màu trắng.
Ta có: $P(A)=\dfrac{C_{14}^3.C_6^2}{C_{20}^5}$.
Tính chất:
Tính chất 1: Nếu $A$ là một sự kiện thì xác suất của $A$ thỏa mãn $0\leq P(A) \leq 1$.
Tính chất 2: Nếu $A$ là một sự kiện và kí hiệu $\overline{A}$ là sự kiện phủ định của $A$ thì $P(A)+P(\overline{A})=1$.
Định nghĩa xác suất theo phương pháp thống kê
Giả sử ta tiến hành $n$ phép thử với cùng một hệ điều kiện thấy có $n_A$ lần xuất hiện sự kiện $A$. Số $n_A$ được gọi là tần số xuất hiện sự kiện $A$ và tỉ số: $$f_n(A)=\dfrac{n_A}{n}$$ gọi là tần suất xuất hiện sự kiện $A$.
Ta nhận thấy rằng khi $n$ thay đổi, $n_A$ thay đổi vì thế $f_n(A)$ cũng thay đổi. Tuy nhiên, trên cơ sở quan sát lâu dài các phép thử khác nhau người ta nhận thấy tần suất xuất hiện một sự kiện có tính ổn định trong các loạt phép thử khác nhau và dao động xung quanh một hằng số xác định. Đặc tính ổn định của tần suất khi số phép thử tăng lên khá lớn cho phép ta định nghĩa xác suất của sự kiện là trị số ổn định đó của tần suất xuất hiện sự kiện. Và nó được gọi là định nghĩa thống kê của xác suất.
Xem mô phỏng định nghĩa xác suất theo phương pháp thống kê.
Định nghĩa xác suất theo hình học
Xét một phép thử với vô hạn kết quả đồng khả năng, giả sử có thể thiết lập sự tương ứng một - một mỗi thuận lợi cho sự kiện $A$ với một điểm thuộc miền $A \subset \Omega$ có độ đo là $m(A)$. Khi đó xác suất sự kiên $A$ là: $$P(A)=\dfrac{m(A)}{m(\Omega)}.$$
Ví dụ: Một đường cáp quang nối Hà Nội với thành phố Hồ Chí Minh dài 1800 km gặp sự cố kĩ thuật làm tắc nghẽn thông tin liên lạc. Sự cố kĩ thuật có thể xảy ra ở bất cứ một vị trí nào của đường cáp quang với cùng một khả năng. Tính xác suất để sự cố kĩ thuật xảy ra cách Hà Nội không quá 200km.
Miền $\Omega$ là đường cáp quang nối Hà Nội và thành phố Hồ Chí Minh có $m(\Omega) = 1800$. Miền $A$ tương ứng với sự kiện cần tính xác suất là đoạn cáp quang từ Hà Nội tới vị trí cách Hà Nội 200 km nên $m(A) = 200$. Vậy xác suất là 1/9.
