Phương trình vi phân cấp một là phương trình có dạng $$F(x,y,y')=0\label{10.1.1}\tag{1}$$trong đó $F$ là hàm của 3 biến độc lập.

Nếu giải được phương trình \eqref{10.1.1} đối với $y'$ thì phương trình vi phân cấp một có dạng $y'=f(x,y)$ hay $\dfrac{dy}{dx} =f(x,y)$ trong đó $f$ là hàm của 2 biến độc lập.       

Ví dụ 1. $y'+2xy=0$; $ydx+xdy=0$ và $y'-4xy=xe^{2x^{2}}$ là các phương trình vi phân cấp một.    

Cho phương trình vi phân cấp một $y'=f(x,y)$.

Nếu hàm $f(x,y)$ liên tục trên một miền $D$ (nằm trong mặt phẳng $Oxy$) chứa điểm $(x_{0} ,y_{0})$.

Khi đó, trong một lân cận nào đó của điểm $x=x_{0}$ tồn tại ít nhất một nghiệm $y=y(x)$ của phương trình đã cho, nghiệm ấy lấy trị $y_{0} $ khi $x=x_{0}$.

Nếu ngoài ra $f'_{y}(x,y)$ cũng liên tục trên $D$ thì nghiệm ấy là duy nhất.

1) Điều kiện $y=y(x)$ lấy trị $y_{0} $ khi $x=x_{0} $ được gọi là điều kiện ban đầu hay điều kiện đầu và ta thường viết điều kiện đầu như sau: $y(x_{0} )=y_{0} $ hay $\left. y\right|_{x=x_{0} } =y_{0}$.

2) Về phương diện hình học, định lý nói rằng nếu hàm $f(x,y)$ và $f'_{y} (x,y)$ cùng liên tục trong một miền chứa điểm thì tồn tại một nghiệm duy nhất của phương trình mà đồ thị của nó đi qua điểm $(x_{0} ,y_{0})$.

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp một là hàm số $y=\varphi (x,C)$ ($C$ là hằng số tùy ý) thỏa mãn phương trình vi phân ấy với mọi $C$, nghĩa là:

1) $y=\varphi (x,C)$ thỏa mãn phương trình vi phân cấp một với mọi trị của $C$.

2) $\forall (x_{0} ,y_{0} )$ ở đó các điều kiện của định lý trên được thỏa mãn ta có thể tìm được một giá trị $C=C_{0} $ sao cho hàm số $y=\varphi (x,C_{0} )$ thỏa mãn điều kiện ban đầu $y(x_{0} )=y_{0}$. 

Nghiệm riêng của phương trình vi phân cấp một là mỗi nghiệm $y=\varphi (x,C_{0} )$ có được từ nghiệm tổng quát $y=\varphi (x,C)$ bằng cách cho hằng số (tùy ý) $C$ một trị cụ thể $C_{0} $.

1) Đôi khi giải phương trình vi phân cấp một ta không có được nghiệm tổng quát dưới dạng tường minh $y=\varphi (x,C)$ mà được một hệ thức có dạng $\Phi (x,y,C)=0$ (khi đó nghiệm tổng quát được xác định dưới dạng ẩn) và $\Phi (x,y,C)=0$  được gọi là tích phân tổng quát của phương trình vi phân cấp một.

Về phương diện hình học, tích phân tổng quát của một phương trình vi phân cấp một xác định một họ đường cong trong mặt phẳng tọa độ, phụ thuộc một hằng số tùy ý $C$. Ta gọi các đường cong đó là những đường cong tích phân của phương trình vi phân cấp một.

Thay $C=C_{0}$ vào hệ thức $\Phi (x,y,C)=0$ ta được hệ thức $\Phi (x,y,C_{0} )=0$  và gọi là tích phân riêng của phương trình vi phân cấp một.

2) Phương trình vi phân cấp một $y'=f(x,y)$ có thể có một số nghiệm không thuộc họ nghiệm tổng quát, chúng được gọi là nghiệm kỳ dị.