Tính khối lượng của một vật thể hữu hạn $Q$ không đồng chất biết khối lượng riêng của nó tại điểm $M(x,y,z)$ là $\rho =\rho (x,y,z)$ là hàm liên tục trên $Q$.

Chia miền $Q$ một cách tùy ý thành $n$ mảnh nhỏ không giẫm lên nhau, gọi tên và cả thể tích của các mảnh ấy là $\Delta V_{1} ,\Delta V_{2} ,\ldots,\Delta V_{n} $.

Trong mỗi mảnh nhỏ $\Delta V_{i} {\rm \; \; }(i=\overline{1,n})$ ta lấy một điểm $M(x_{i} ,y_{i} ,z_{i} )$ tùy ý. Nếu $\Delta V_{i} $  khá nhỏ (đường kính của nó khá ngắn), ta có thể xem khối lượng riêng tại mọi điểm của $\Delta V_{i} $ là bằng nhau và đều bằng $\rho (M_{i} )$. Do đó khối lượng của mảnh $\Delta V_{i} $: $\Delta m_{i} \approx \rho (x_{i} ,y_{i} ,z_{i} )\Delta V_{i} $.

Nếu mọi $\Delta V_{i} $ đều khá nhỏ thì khối lượng của một vật thể $Q$ là: $$m=\sum _{i=1}^{n}\Delta m_{i} \approx \sum _{i=1}^{n}\rho (x_{i} ,y_{i} ,z_{i} )\Delta V . $$ Phép tính này càng chính xác nếu $n$ càng lớn (các $\Delta V_{i} $ càng nhỏ, nghĩa là đường kính $d_{i} $ của $\Delta V_{i} $ càng nhỏ).

Vậy, khối lượng của một vật thể $Q$ bằng giới hạn nếu có của $\sum\limits_{i=1}^{n}\rho (x_{i} ,y_{i} ,z_{i} ) \Delta V_{i} $ khi $n\to \infty $ sao cho đường kính lớn nhất trong các đường kính của các $\Delta V_{i} $ dần tới 0. Nghĩa là: $m={\mathop{\lim }\limits_{\max d_{i} \to 0}} \sum\limits_{i=1}^{n}\rho (x_{i} ,y_{i} ,z_{i} ) \Delta V_{i} $.

Ngoài bài toán trên, trong các lĩnh vực khác nhau của khoa học kĩ thuật còn có nhiều bài toán mà kết quả đều đưa đến tìm giới hạn của một tổng có dạng trên. Toán học đã định nghĩa cho khái niệm này là tích phân bội ba. 

Cho hàm số $z=f(x,y,z)$ xác định trên miền hữu hạn $Q$ trong không gian $Oxyz$.

Chia $Q$ một cách tùy ý thành $n$ mảnh nhỏ không giẫm lên nhau, gọi tên và cả thể tích của các mảnh ấy là $\Delta V_{1} ,\Delta V_{2} ,\ldots,\Delta V_{n} $.

Trong mỗi mảnh nhỏ $\Delta V_{i} {\rm \; \; }(i=\overline{1,n})$ ta lấy một điểm $M(x_{i} ,y_{i} ,z_{i} )$ tùy ý và lập tổng $I_{n} =\sum\limits_{i=1}^{n}f(x_{i} ,y_{i} ,z_{i})\Delta V_{i} $ ($I_{n} $ được gọi là tổng tích phân của hàm $f(x,y,z)$ trên miền $Q$).

Nếu khi $n\to \infty $ sao cho $\max d_{i} \to 0$ mà $I_{n} $ dần tới một giới hạn xác định $I$ không phụ thuộc vào cách chia $Q$ và cách lấy điểm $M_{i} $ trong $\Delta V_{i} $ thì $I$ được gọi là tích phân bội ba hay tích phân ba lớp của hàm $f(x,y,z)$ trên miền $V$.

Kí hiệu $\iiint\limits_{Q}f(x,y,z)dV $. Như vậy, $$\iiint\limits _{Q}f(x,y,z)dV ={\mathop{\lim }\limits_{\max d_{i} \to 0}} \sum _{i=1}^{n}f(x_{i} ,y_{i} ,z_{i} ) \Delta V_{i}\label{9.1.1}\tag{1},$$ trong đó: $Q$ được gọi là miền lấy tích phân

            $f(x,y,z)$ là hàm dưới dấu tích phân,

            $f(x,y,z)dV$ là biểu thức dưới dấu tích phân,

            $x,y,z$ là các biến tích phân,

            $dV$ là yếu tố thể tích.

1. Nếu tồn tại tích phân \eqref{9.1.1} ta nói $f(x,y,z)$ khả tích trên $Q$. Cũng giống như điều kiện khả tích của hàm hai biến, điều kiện khả tích của hàm $f(x,y,z)$ trên miền $Q$ là: $f(x,y,z)$ liên tục trên $Q$.

2. Ý nghĩa hình học

Nếu $f(x,y,z)\ge 0$ và liên tục trên $Q$ thì $\iiint\limits _{Q}f(x,y,z)dV =m_{Q}$.

Đặc biệt. Nếu $f(x,y,z)=1{\rm \; \; }\forall (x,y,z)\in Q$ thì $\iiint\limits_{Q}dV =V_{Q}$.

3. Giá trị của tích phân bội ba không phụ thuộc vào cách chia $Q$ nên ta có thể chia $Q$ một cách đặc biệt: Chia bởi lưới các mặt phẳng song song với các mặt phẳng tọa độ. Với cách chia này thì mỗi mảnh $\Delta V_{i} $ nói chung là một hình hộp chữ nhật, do đó $dV=dxdydz$ (vì $x,y,z$ là các biến độc lập). Vậy $$\iiint\limits _{Q}f(x,y,z)dV =\iiint\limits _{Q}f(x,y,z)dxdydz.$$

Tích phân bội ba có những tính chất tương tự như tính chất của tích phân bội hai.

Tính chất 1. $\iiint\limits _{Q}[f(x,y,z)\pm g(x,y,z)]dxdydz=\iiint\limits_{Q}f(x,y,z)dxdydz \pm \iiint\limits _{Q}g(x,y,z)dxdydz $.

Tính chất 2. $\iiint\limits _{Q}cf(x,y,z)dxdydz =c\iiint\limits _{Q}f(x,y,z)dxdydz {\rm \; \; }(c\text{-const})$.

Tính chất 3. Nếu $Q=Q_{1} \cup Q_{2}$ thì $$\iiint\limits _{Q}f(x,y,z)dxdydz =\iiint\limits _{Q_{1} }f(x,y,z)dxdydz +\iiint\limits _{Q_{2} }f(x,y,z)dxdydz.$$

Tính chất 4. $V_{Q} =\iiint\limits _{Q}dxdydz $.

Tính chất 5. Nếu $f(x,y,z)\le g(x,y,z){\rm \; \; }\forall (x,y,z)\in Q$ thì $\iiint\limits _{Q}f(x,y,z)dxdydz \le \iiint\limits _{Q}g(x,y,z)dxdydz $.

Tính chất 6. Nếu $m\leq f(x,y,z)\leq M$ trên $Q$ thì ta có: $mV_Q\le \iiint\limits _{Q}f(x,y,z)dxdydz \le MV_Q$.

Tính chất 7 (định lý về giá trị trung bình) Nếu hàm $f(x,y,z)$ liên tục trên miền $Q$ thì trên $Q$ tồn tại ít nhất một điểm $M_{0} (x_{0} ,y_{0} ,z_{0} )$ sao cho: $f(x_{0} ,y_{0} ,z_{0} )=\dfrac{1}{V_Q}\iiint\limits _{Q}f(x,y,z)dxdydz$.