Giả sử hàm số $f(x)$ có đạo hàm mọi cấp trong một lân cận nào đó của $x_{0}$ và có thể biểu diễn dưới dạng tổng của một chuỗi lũy thừa trong lân cận ấy. Khi đó ta có thể viết: $$f\left(x\right)=a_{0}+a_{1} \left(x-x_{0}\right)+a_{2}\left(x-x_{0}\right)^{2}+a_{3} \left(x-x_{0}\right)^{3} +\cdots +a_{n} \left(x-x_{0} \right)^{n} +\cdots $$ trong đó $a_{0},a_{1} ,a_{2},\cdots,a_{n}\cdots$ là các hằng số.
Theo Tính chất 4, trong khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum\limits_{n=0}^{+\infty }a_{n} x^{n}$ ta có \begin{align}f'\left(x\right)&=a_{1} +2a_{2}\left(x- x_{0}\right)+3a_{3} \left(x- x_{0} \right)^{2} +\cdots +na_{n} \left(x- x_{0} \right)^{n-1} +\cdots\\f^{''}\left(x\right)&=2a_{2}+2.3a_{3}\left(x- x_{0} \right)+\cdots +\left(n-1\right)na_{n} \left(x- x_{0} \right)^{n-2} +\cdots\\\vdots\\f^{(n)}\left(x\right)&=n!a_{n} +\cdots\end{align}
Thế $x=x_{0}$ vào các đẳng thức trên ta được $$f\left(x_{0}\right)=a_{0},\quad f'\left(x_{0}\right)=a_{1},\quad f^{''}\left(x_{0} \right)=2!a_{2},\quad\cdots,\quad f^{(n)} \left(x_{0} \right)=n!a_{n} \cdots$$
Hay $a_0=f(x_{0});\quad a_{1}=\dfrac{f'(x_{0} )}{1!};\quad a_{2}=\dfrac{f^{''}(x_{0} )}{2!};\quad\cdots ;\quad a_{n} =\dfrac{f^{(n)} (x_{0} )}{n!};\quad\cdots$.
Khi đó ta có khai triển Taylor hàm $f(x)$ trong lân cận điểm $x=x_0$ là $$f(x)=f(x_{0} )+\frac{f'(x_{0} )}{1!} (x-x_{0} )+\dfrac{f^{''}(x_{0} )}{2!} (x-x_{0} )^{2} {\rm \; }+\cdots +\dfrac{f^{(n)} (x_{0} )}{n!} (x-x_{0} )^{n} +\cdots$$ Đặc biệt, khi $x_{0} =0$ thì $$f(x)=f(0)+f'(0)x+\dfrac{f^{''}(0)}{2!} x^{2} {\rm \; }+\cdots +\dfrac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n} +\cdots$$ chuỗi Taylor được gọi là chuỗi Maclaurin.
