9.2 Cách tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ Đề Các

Cần tính $\iiint\limits _{Q}f(x,y,z)dxdydz $ với $Q$ là miền được giới hạn bởi các mặt $z=z_{1} (x,y);{\rm \; }z=z_{2} (x,y)$ (giả sử $z_{1} (x,y);{\rm \; }z_{2} (x,y)$ liên tục, đơn trị, $z_{1} (x,y)\le z_{2} (x,y)$ trên miền $D$ là hình chiếu của $Q$ lên mặt phẳng $Oxy$ và giả sử $D$ được giới hạn bởi các đường $y=y_{1} (x);{\rm \; }y=y_{2} (x)$ ($y_{1} (x);{\rm \; }y_{2} (x)$ liên tục, đơn trị, $y_{1} (x)\le y_{2} (x)$ trên ${\rm [}a,b{\rm ]}$ (chú ý ${\rm [}a,b{\rm ]}$ là hình chiếu của $D$ lên trục $Ox$)). Giả sử $f(x,y,z)$ liên tục trên $Q$.

Tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ Đề Các

Như vậy, $Q$ được xác định bởi các bất đẳng thức kép: $\left\{\begin{array}{l} {{\rm a}\le {\rm x}\le {\rm b}} \\ {{\rm y}_{{\rm 1}} {\rm (x)}\le {\rm y}\le {\rm y}_{{\rm 2}} {\rm (x)}} \\ {{\rm z}_{{\rm 1}} {\rm (x,y)}\le {\rm z}\le {\rm z}_{{\rm 2}} {\rm (x,y)}} \end{array}\right.$

Do đó ta có công thức: $$\iiint\limits _{Q}f(x,y,z)dxdydz =\int _{a}^{b}\left\{\int _{y_{1} (x)}^{y_{2} (x)}\left[\int _{z_{1} (x,y)}^{z_{2} (x,y)}f(x,y,z)dz \right]dy \right\} dx.$$ Hay $$\iiint\limits_{Q}f(x,y,z)dxdydz =\int _{a}^{b}dx\int _{y_{1} (x)}^{y_{2} (x)}dy\int _{z_{1} (x,y)}^{z_{2} (x,y)}f(x,y,z)dz\label{9.2.2}\tag{2}.$$

Chú ý

Công thức \eqref{9.2.2} còn có thể viết: $$\iiint\limits _{Q}f(x,y,z)dxdydz =\iint\limits_{D}dxdy \int _{z_{1} (x,y)}^{z_{2} (x,y)}f(x,y,z)dz\label{9.2.3}\tag{3}.$$Hay $$\iiint\limits _{Q}f(x,y,z)dxdydz =\int _{a}^{b}dx\iint\limits _{S(x)}f(x,y,z)dydz\label{9.2.4}\tag{4}.$$ Với $S(x)$ là diện tích thiết diện của $Q$ khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại $x\in {\rm [}a,b{\rm ]}.$

Ví dụ 1

Tính tích phân $I=\iiint\limits _{Q}(1-x-y)dxdydz $ với miền $Q$ được giới hạn bởi các mặt $x+y+z=1;{\rm \; }x=0;{\rm \; }y=0;{\rm \; }z=0$.

Trước hết ta nên vẽ hình biểu diễn miền $Q$ để dễ dàng hơn trong biểu diễn miền $Q$ trong hệ tọa độ Đề Các:

$Q$ được xác định bởi các bất đẳng thức kép $\left\{\begin{array}{l} {0\le x\le 1,} \\ {0\le y\le 1-x,} \\ {0\le z\le 1-x-y.} \end{array}\right. $

Sau đó, thay vào công thức \eqref{9.2.2} và tính tích phân (lưu ý: phải tính tích phân theo biến $z$ trước, tiếp theo đến tích phân theo biến $y$ và cuối cùng là tích phân theo biến $x$) \begin{align}I&=\int _{0}^{1}dx\int _{0}^{1-x}dy\int _{0}^{1-x-y}(1-x-y)dz=\int_{0}^{1}dx\int _{0}^{1-x}(1-x-y)z\Big|_{0}^{1-x-y} dy \\&=\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1-x}(1-x-y)^{2} dy =-\int_{0}^{1}dx\int _{0}^{1-x}(1-x-y)^{2} d(1-x-y)\\&=-\dfrac{1}{3} \int _{0}^{1}(1-x-y)^{3} \Big|_{0}^{1-x} dx =\dfrac{1}{3} \int _{0}^{1}(1-x)^{3} dx =-\dfrac{1}{3} \int _{0}^{1}(1-x)^{3} d(1-x)\\&=-\dfrac{1}{12}(1-x)^{4} \Big|_{0}^{1} =\dfrac{1}{12}.\end{align}

Ví dụ 2

Tính tích phân$\iiint\limits _{Q}zdxdydz $ với miền $Q$ được giới hạn bởi các mặt $z=0;{\rm \; }z=\sqrt{R^{2} -x^{2} -y^{2} }$.

Những trường hợp khó vẽ hình biểu diễn miền $Q$ thì ta phải cố gắng tưởng tượng để đưa ra được miền $Q$, hình chiếu của nó xuống mặt phẳng tọa độ $Oxy$ (miền $D$): $Q$ là nửa hình cầu tâm $O(0,0,0)$ bán kính $R$ nằm trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ (ứng với $z\ge 0)$ còn $D$ là hình tròn tâm $O(0,0)$ bán kính $R$, do đó ta nên áp dụng công thức \eqref{9.2.3} $$\iiint\limits _{Q}zdxdydz =\iint\limits _{x^{2} +y^{2} \le R^{2} }dxdy \int _{0}^{\sqrt{R^{2} -x^{2} -y^{2} } }zdz =\dfrac{1}{2} \iint\limits _{x^{2} +y^{2} \le R^{2} }z^{2} \Big|_{0}^{\sqrt{R^{2} -x^{2} -y^{2} } } dxdy. $$ Chuyển sang hệ tọa độ cực ta có $$\iiint\limits_{Q}zdxdydz =\dfrac{1}{2} \int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{R}(R^{2} -r^{2} ) rdr=\dfrac{\pi R^{4} }{4}.$$