Định nghĩa. Chuỗi đan dấu là chuỗi số có dạng $\pm (u_{1} -u_{2} +\cdots +(-1)^{n+1} u_{n} +\cdots ),{\rm \; }u_{n} >0$.
Chú ý. Ta chỉ cần xét tính chất của chuỗi số $u_{1} -u_{2} +\cdots +(-1)^{n+1} u_{n} +\cdots ,{\rm \; }u_{n} >0$, kí hiệu: $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }(-1)^{n+1} u_{n}$ hoặc $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }(-1)^{n-1} u_{n}$.
Cho chuỗi đan dấu $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }(-1)^{n+1} u_{n} $.
Nếu dãy số dương $u_{1} ,u_{2},\ldots,u_{n},\ldots$ đơn điệu giảm và $u_{n} \to 0$ khi $n\to \infty$ thì chuỗi đã cho hội tụ và có tổng không vượt quá số hạng đầu tiên $u_{1}$.
Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }(-1)^{n+1} \dfrac{1}{n} $.
Phân tích các điều kiện của định lý Leibniz đối với chuỗi đã cho, và đưa ra kết luận.
Nhận xét. $\left\{\dfrac{1}{n} \right\}_{n=1}^{\infty }$ đơn điệu giảm và ${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \dfrac{1}{n} =0$ nên $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }(-1)^{n+1} \dfrac{1}{n} $ hội tụ.
Hoặc kết luận: Chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }(-1)^{n+1} \dfrac{1}{n}$ là chuỗi đan dấu thỏa mãn các điều kiện của định lý Leibniz, nên hội tụ.
Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }(-1)^{n-1} \dfrac{n+1}{n^{2} +n+1} $.
Tương tự Ví dụ 23.
Phân tích các điều kiện của định lý Leibniz đối với chuỗi đã cho, và đưa ra kết luận.
Chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }(-1)^{n-1} \dfrac{n+1}{n^{2} +n+1}$ là chuỗi đan dấu thỏa mãn các điều kiện của định lý Leibniz, nên hội tụ.
Định lý. Nếu chuỗi số $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }|u_{n} |$ hội tụ thì chuỗi số $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }u_{n} $ cũng hội tụ.
Khi đó, ta nói chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }u_{n}$ hội tụ tuyệt đối.
Chú ý. Định lý chỉ nêu điều kiện đủ chứ không nêu điều kiện cần để chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }u_{n} $ hội tụ (nghĩa là có thể chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }u_{n} $ hội tụ mà chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }|u_{n} |$ lại phân kỳ, khi đó ta nói chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }u_{n} $ hội tụ không tuyệt đối hay bán hội tụ).
Đương nhiên: nếu chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }u_{n} $ phân kỳ thì chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }|u_{n} |$ cũng phân kỳ.
Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{\sin n\alpha }{n^{7} } $.
Xét chuỗi số dương $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\left|\dfrac{\sin n\alpha }{n^{7} } \right| $
Nhận xét. $\left|\dfrac{\sin n\alpha }{n^{7} } \right|\le \dfrac{1}{n^{7} } ,\forall n\ge 1$
Mặt khác chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{7} }$ hội tụ (vì đây là chuỗi Riemann có $\alpha =7>1$)
Nên theo định lý so sánh 1 thì chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\left|\dfrac{\sin n\alpha }{n^{7} } \right| $ hội tụ $\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{\sin n\alpha }{n^{7} } $ hội tụ.
Vậy, chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{\sin n\alpha }{n^{7} } $ hội tụ (Hội tụ tuyệt đối).
Xét sự hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ của chuỗi số $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }(-1)^{n+1} \dfrac{1}{n} $.
Theo kết quả của Ví dụ 23, chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }(-1)^{n+1} \dfrac{1}{n}$ hội tụ.
Nhưng $\left|(-1)^{n-1} \dfrac{1}{n} \right|=\dfrac{1}{n} $ .
Mặt khác chuỗi điều hòa $\sum\limits_{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\dfrac{1}{n}$ phân kỳ nên $\sum\limits_{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\left|(-1)^{n+1} \dfrac{1}{n} \right|$ phân kỳ.
Vậy, chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }(-1)^{n+1} \dfrac{1}{n} $ là chuỗi bán hội tụ.
Xét sự hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ của chuỗi số $\sum\limits_{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }(-1)^{n-1}\dfrac{1}{n^{2} } $.
$\left|(-1)^{n-1} \dfrac{1}{n^{2} } \right|=\dfrac{1}{n^{2} } $, mà chuỗi $\sum\limits_{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\dfrac{1}{n^{2} } $ hội tụ (chuỗi Riemann có $\alpha =2>1$)
Như vậy, $\sum\limits_{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\left|(-1)^{n-1} \dfrac{1}{n^{2} } \right| $ hội tụ $\Rightarrow \sum\limits_{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }(-1)^{n-1} \dfrac{1}{n^{2} }$ hội tụ (hội tụ tuyệt đối).
