6.3. Đạo hàm hàm hợp

Định nghĩa

Định nghĩa. Cho hàm số $z=f(u,v)$, trong đó $u=u(x,y)$ và $v=v(x,y)$ là hàm của 2 biến độc lập $x,\,y$. Khi ấy ta nói $z$ là hàm hợp của $x,\,y$ thông qua 2 biến trung gian $u,\,v$}, tức là: $z=f(u(x,y),v(x,y))$.

Định lý

Nếu $z=f(u,v)$ khả vi và $u,{\rm \; }v$ có các đạo hàm riêng liên tục thì tồn tại $z'_{x} ;{\rm \; }z'_{y} $ và $\left\{\begin{array}{l} {z'_{x} =z'_{u} .u'_{x} +z'_{v} .v'_{x} } \\ {z'_{y} =z'_{u} .u'_{y} +z'_{v} .v'_{y} } \end{array}\right. $.

Chú ý

$\left[\begin{array}{cc} {u'_{x} } & {v'_{x} } \\ {u'_{y} } & {v'_{y} } \end{array}\right]$ được gọi là ma trận Jacobi của $u,{\rm \; }v$ đối với $x,{\rm \; }y$. $$\dfrac{D(u,v)}{D(x,y)} =\left|\begin{array}{cc} {u'_{x} } & {v'_{x} } \\ {u'_{y} } & {v'_{y} } \end{array}\right| \text{ được gọi là định thức Jacobi của } u,v \text{ đối với }x,{\rm \; }y.$$
$z=f(x,y);\,y=\varphi (x): \dfrac{dz}{dx}=z'_{x} +z'_{y} \cdot \dfrac{dy}{dx}$.
$z=f(x,y);x=x(t);y=y(t):\,\dfrac{dz}{dt} =z'_{x} \cdot \dfrac{dx}{dt} +z'_{y} \cdot \dfrac{dy}{dt}$.
Vi phân toàn phần của hàm nhiều biến cũng có dạng bất biến như vi phân của hàm một biến, do đó: $$d(u\pm v)=du\pm dv;\quad d(uv)=udv+vdu;\quad d\left(\dfrac{u}{v} \right)=\dfrac{vdu-udv}{v^{2}}.$$

Các công thức trên vẫn đúng khi $u,v$ là những hàm số của các biến độc lập khác.

Ví dụ 7

Cho hàm $z=x^{2} +\sqrt{y}$ với $y=\sin x$. Tìm $\dfrac{dz}{dx}$.

Trước hết ta tìm $z'_{x} ;{\rm \; }z'_{y} ;{\rm \; }\dfrac{dy}{dx}$: $z'_{x} =2x;\quad z'_{y} =\dfrac{1}{2\sqrt{y} } ;\quad\dfrac{dy}{dx}=\cos x$, khi đó $$\dfrac{dz}{dx} =z'_{x} +z'_{y} \cdot \dfrac{dy}{dx} =2x+\dfrac{1}{2\sqrt{y} } \cdot \cos x=2x+\dfrac{1}{2\sqrt{\sin x} } \cdot \cos x.$$

Ví dụ 8

Cho hàm $z=e^{u} \cos v$ với $u=x+2y$ và $v=xy$. Tìm $z'_{x};{\rm \; }z'_{y}$.

Trước hết ta tìm các đạo hàm riêng $z'_{u};{\rm \; }z'_{v} ;{\rm \; }u'_{x} ;{\rm \; }u'_{y} ;{\rm \; }v'_{x} ;{\rm \; }v'_{y}$: $$z'_{u} =e^{u} \cos v;{\rm \; }z'_{v} =-e^{u} \sin v;{\rm \; }u'_{x} =1;{\rm \; }u'_{y} =2;{\rm \; }v'_{x} =y;{\rm \; }v'_{y} =x.$$

Sau đó ta thay vào công thức $\left\{\begin{array}{l} {z'_{x} =z'_{u} .u'_{x} +z'_{v} .v'_{x} }, \\ {z'_{y} =z'_{u} .u'_{y} +z'_{v} .v'_{y} } \end{array}\right. $

Ta có $\left\{\begin{array}{l} {z_{x}^{'} =e^{u} \cos v.1-ye^{u} \sin v} \\ {z_{y}^{'} =e^{u} \cos v.2-xe^{u} \sin v} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {z_{x}^{'} =e^{x+y} \cos xy-ye^{x+y} \sin xy} \\ {z_{y}^{'} =2e^{x+y} \cos xy-xe^{x+y} \sin xy} \end{array}\right. $.