Định nghĩa. Cho hàm số $z=f(u,v)$, trong đó $u=u(x,y)$ và $v=v(x,y)$ là hàm của 2 biến độc lập $x,y$. Khi ấy ta nói $z$ là hàm hợp của $x,y$ thông qua 2 biến trung gian $u,v$}, tức là: $z=f(u(x,y),v(x,y))$.

Nếu $z=f(u,v)$ khả vi và $u,v$ có các đạo hàm riêng liên tục thì tồn tại $z_x^{\prime };z_y^{\prime }$ và $\{\begin{array}{l}{z}_x^{\prime }=z_u^{\prime }.u_x^{\prime }+z_v^{\prime }.v_x^{\prime }\\ z_y^{\prime }=z_u^{\prime }.u_y^{\prime }+z_v^{\prime }.v_y^{\prime }\end{array}$.

1. $\left[\begin{array}{cc}{u}_x^{\prime }& v_x^{\prime }\\ u_y^{\prime }& v_y^{\prime }\end{array}\right]$  được gọi là ma trận Jacobi của $u,v$ đối với $x,y$. $${\displaystyle \frac{D(u,v)}{D(x,y)}}=\left|\begin{array}{cc}{u}_x^{\prime }& v_x^{\prime }\\ u_y^{\prime }& v_y^{\prime }\end{array}\right|\text{ được gọi là định thức Jacobi của }u,v\text{ đối với }x,y.$$
2. $z=f(x,y);y=\phi (x):{\displaystyle \frac{dz}{dx}}=z_x^{\prime }+z_y^{\prime }\cdot {\displaystyle \frac{dy}{dx}}$.
3. $z=f(x,y);x=x(t);y=y(t):{\displaystyle \frac{dz}{dt}}=z_x^{\prime }\cdot {\displaystyle \frac{dx}{dt}}+z_y^{\prime }\cdot {\displaystyle \frac{dy}{dt}}$.
4. Vi phân toàn phần của hàm nhiều biến cũng có dạng bất biến như vi phân của hàm một biến, do đó: $$d(u\pm v)=du\pm dv;d(uv)=udv+vdu;d\left({\displaystyle \frac{u}{v}}\right)={\displaystyle \frac{vdu-udv}{v^2}}.$$

Các công thức trên vẫn đúng khi $u,v$ là những hàm số của các biến độc lập khác.

Cho hàm $z=x^2+\sqrt{y}$ với $y=\sin x$. Tìm ${\displaystyle \frac{dz}{dx}}$.

Cho hàm $z=e^u\cos v$ với $u=x+2y$ và $v=xy$. Tìm $z_x^{\prime };z_y^{\prime }$.