6.3. Đạo hàm hàm hợp

Định nghĩa

Hide

Định nghĩa. Cho hàm số z=f(u,v), trong đó u=u(x,y)v=v(x,y) là hàm của 2 biến độc lập x,y. Khi ấy ta nói z là hàm hợp của x,y thông qua 2 biến trung gian u,v}, tức là: z=f(u(x,y),v(x,y)).

Định lý

Hide

Nếu z=f(u,v) khả vi và u,v có các đạo hàm riêng liên tục thì tồn tại zx;zy và {zx=zu.ux+zv.vxzy=zu.uy+zv.vy.

Chú ý

Hide

  1. [uxvxuyvy]  được gọi là ma trận Jacobi của u,v đối với x,y. D(u,v)D(x,y)=|uxvxuyvy| được gọi là định thức Jacobi của u,v đối với x,y.
  2. z=f(x,y);y=φ(x):dzdx=zx+zydydx.
  3. z=f(x,y);x=x(t);y=y(t):dzdt=zxdxdt+zydydt.
  4. Vi phân toàn phần của hàm nhiều biến cũng có dạng bất biến như vi phân của hàm một biến, do đó: d(u±v)=du±dv;d(uv)=udv+vdu;d(uv)=vduudvv2.

Các công thức trên vẫn đúng khi u,v là những hàm số của các biến độc lập khác.

Ví dụ 7

Hide

Cho hàm z=x2+y với y=sinx. Tìm dzdx.

Ví dụ 8

Hide

Cho hàm z=eucosv với u=x+2yv=xy. Tìm zx;zy.