Định nghĩaHide Định nghĩa. Cho hàm số z=f(u,v), trong đó u=u(x,y) và v=v(x,y) là hàm của 2 biến độc lập x,y. Khi ấy ta nói z là hàm hợp của x,y thông qua 2 biến trung gian u,v}, tức là: z=f(u(x,y),v(x,y)).
Định lýHide Nếu z=f(u,v) khả vi và u,v có các đạo hàm riêng liên tục thì tồn tại zx′;zy′ và {zx′=zu′.ux′+zv′.vx′zy′=zu′.uy′+zv′.vy′.
Chú ýHide [ux′vx′uy′vy′] được gọi là ma trận Jacobi của u,v đối với x,y. đượọàđịứủđốớD(u,v)D(x,y)=|ux′vx′uy′vy′| được gọi là định thức Jacobi của u,v đối với x,y. z=f(x,y);y=φ(x):dzdx=zx′+zy′⋅dydx. z=f(x,y);x=x(t);y=y(t):dzdt=zx′⋅dxdt+zy′⋅dydt. Vi phân toàn phần của hàm nhiều biến cũng có dạng bất biến như vi phân của hàm một biến, do đó: d(u±v)=du±dv;d(uv)=udv+vdu;d(uv)=vdu−udvv2. Các công thức trên vẫn đúng khi u,v là những hàm số của các biến độc lập khác.
Ví dụ 7Hide Cho hàm z=x2+y với y=sinx. Tìm dzdx.Trước hết ta tìm zx′;zy′;dydx: zx′=2x;zy′=12y;dydx=cosx, khi đó dzdx=zx′+zy′⋅dydx=2x+12y⋅cosx=2x+12sinx⋅cosx.
Ví dụ 8Hide Cho hàm z=eucosv với u=x+2y và v=xy. Tìm zx′;zy′.Trước hết ta tìm các đạo hàm riêng zu′;zv′;ux′;uy′;vx′;vy′: zu′=eucosv;zv′=−eusinv;ux′=1;uy′=2;vx′=y;vy′=x. Sau đó ta thay vào công thức {zx′=zu′.ux′+zv′.vx′,zy′=zu′.uy′+zv′.vy′ Ta có {zx′=eucosv.1−yeusinvzy′=eucosv.2−xeusinv⇒{zx′=ex+ycosxy−yex+ysinxyzy′=2ex+ycosxy−xex+ysinxy.