1.1. Khái niệm chuỗi số

a. Định nghĩa

Cho một dãy vô hạn các số $u_{1},u_{2},\cdots,u_{n},...$ Biểu thức: $u_{1} +u_{2} +\cdots +u_{n} +\cdots $ được gọi là một chuỗi số và kí hiệu $\sum _{n=1}^{+\infty }u_{n}.$

Như vậy $$\sum _{n=1}^{+\infty }u_{n} =u_{1} +u_{2} +\cdots +u_{n} +\cdots\tag{1}\label{a}$$ $S_{n}:=\sum _{k=1}^{n}u_{k}$ được gọi là tổng riêng thứ $n$ của chuỗi số.

Nếu $S_{n} $ dần tới một giới hạn hữu hạn, khi $n\to \infty $ thì ta nói chuỗi \eqref{a} hội tụ và có tổng là $S$, viết: $S=\sum _{n=1}^{+\infty }u_{n}$.

$R_{n} :=S-S_{n} $ được gọi là phần dư thứ $n$ của chuỗi số.

Như vậy, chuỗi số hội tụ khi và chỉ khi $R_{n} \to 0$ khi $n\to \infty$.

Nếu $S_{n}$ không dần tới một giới hạn hữu hạn khi $n\to \infty$ thì ta nói chuỗi \eqref{a} phân kỳ.

Ví dụ 1

Xét sự hội tụ, phân kỳ của các chuỗi số $\sum _{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{n(n+1)}$.

Ta có: $\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n(n+1)} =\dfrac{1}{1.2} +\dfrac{1}{2.3} +\cdots +\dfrac{1}{n(n+1)} +\cdots$

Trước hết ta tìm $S_{n} =\dfrac{1}{1.2} +\dfrac{1}{2.3}+\cdots+\dfrac{1}{n(n+1)}$.

Để tìm giới hạn của $S_{n}$, chúng ta hãy biến đổi để đưa $S_{n}$ về dạng gọn hơn.

Nhận xét. $\dfrac{1}{n(n+1)} =\dfrac{1}{n} -\dfrac{1}{n+1} $ $$\Rightarrow S_{n} =\dfrac{1}{1.2} +\dfrac{1}{2.3} +\cdots +\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{2} -\dfrac{1}{3} +\cdots +\dfrac{1}{n} -\dfrac{1}{n+1} =1-\dfrac{1}{n+1} $$ $$\Rightarrow \lim\limits_{n\to \infty } S_{n} =\lim\limits_{n\to \infty } \left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)=1=S.$$

Kết luận. Chuỗi đã cho hội tụ và có tổng bằng 1.

Ví dụ 2

Xét sự hội tụ, phân kỳ của các chuỗi số $\sum_{n=1}^{+\infty }aq^{n-1}, a\ne 0$.

Ta có: $\sum_{n=1}^{+\infty }aq^{n-1} =a+aq+aq^{2} +\cdots +aq^{n-1} +\cdots $

Đây là cấp số nhân vô hạn với công bội là $q$. Ta có: $S_{n} =a+aq+aq^{2} +\cdots +aq^{n-1} $

- Với $q\ne 1$ thì $S_{n} =a\dfrac{1-q^{n} }{1-q} $

Ta xét các khả năng sau:

$|q|<1 \Rightarrow {\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} q^{n} =0 \Rightarrow {\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} S_{n} =\dfrac{a}{1-q} =S$. Vậy $|q|<1$ chuỗi đã cho hội tụ và có tổng là $S=\dfrac{a}{1-q}$.
$|q|>1 \Rightarrow {\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} q^{n} =\infty \Rightarrow {\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }}S_{n} =\infty$. Vậy $|q|>1$ chuỗi đã cho phân kỳ.

- Với $q=-1\Rightarrow \sum _{n=1}^{+\infty }aq^{n-1} =a-a+a-a+\cdots $ $$S_{n} =a\cdot \dfrac{1-(-1)^{n} }{1+1} =\left\{\begin{array}{l}{0;n=2k} \\ {a;n=2k+1} \end{array}\right.$$ $S_{n}$ không dần tới một giới hạn hữu hạn khi $n\to \infty$. Vậy $q=-1$ chuỗi đã cho phân kỳ.

- Với $q=1$ ta có $\sum _{n=1}^{+\infty }aq^{n-1} =a+a+a+\cdots +a+\cdots $ $$S_{n} =na\Rightarrow {\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} S_{n} =\infty$$ Vậy $q=1$ chuỗi đã cho phân kỳ.

Kết luận: $\sum _{n=1}^{+\infty }aq^{n-1} (a\ne 0)$ hội tụ (về $S=\frac{a}{1-q} $ ) khi $|q|<1$ và phân kỳ khi $|q|\ge 1$.

Chú ý: Từ kết quả trên ta có kết quả: chuỗi số $\sum _{n=1}^{+\infty }q^{n} $ hội tụ (về $S=\dfrac{q}{1-q} $) khi $|q|<1$ và phân kỳ khi $|q|\ge 1$.

Chẳng hạn, chuỗi số $\sum _{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{5^{n} }$ hội tụ (vì $|q|=\dfrac{1}{5} <1$) về $S=\dfrac{a}{1-q}=\dfrac{\frac{1}{5} }{1-\frac{1}{5} } =\dfrac{1}{4}$.

Tương tự, ta cũng chứng minh được chuỗi số $\sum_{n=0}^{+\infty }q^{n}$ hội tụ (về $S=\dfrac{1}{1-q} $) khi $|q|<1$ và phân kỳ khi $|q|\ge 1$.

Chẳng hạn, chuỗi số $\sum_{n=0}^{+\infty }\dfrac{1}{5^{n} }$ hội tụ (vì $|q|=\dfrac{1}{5} <1$) về $S=\dfrac{1}{1-q} =\dfrac{1}{1-\frac{1}{5} }=\dfrac{5}{4}$.

b. Định lí điều kiện ắt có của chuỗi số hội tụ

Nếu $\sum _{n=1}^{+\infty }u_{n} $ hội tụ thì $u_{n} \to 0$ khi $n\to \infty $.

Hệ quả

Nếu $u_{n} $ không dần tới 0 khi $n\to \infty $ thì $\sum _{n=1}^{+\infty }u_{n}$ phân kỳ.

Ví dụ 3

Chuỗi số $\sum_{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\dfrac{2n+3}{n}$ phân kỳ vì $\dfrac{2n+3}{n} \stackrel{n\to +\infty }{\longrightarrow}2\ne 0$.

Chú ý. Định lý trên chỉ nêu điều kiện ắt có chứ không nêu điều kiện đủ của chuỗi số hội tụ, nếu $u_{n} \to 0$ khi thì chưa chắc chuỗi số đã cho hội tụ.

Ví dụ 4

Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số $\sum _{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\dfrac{1}{\sqrt{n}} $.

Rõ ràng: ${\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} u_{n} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{1}{\sqrt{n} } =0$

Nhưng ta lại có: $$S_{n} =\frac{1}{\sqrt{1} } +\dfrac{1}{\sqrt{2} } +\dfrac{1}{\sqrt{3} } +\cdots +\dfrac{1}{\sqrt{n} } >\dfrac{1}{\sqrt{n} } +\dfrac{1}{\sqrt{n} } +\dfrac{1}{\sqrt{n} } +\cdots +\dfrac{1}{\sqrt{n} }=\dfrac{n}{\sqrt{n} }=\sqrt{n} $$ Vì $S_{n} >\sqrt{n} $ nên ${\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} S_{n} >{\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \sqrt{n} =\infty $. Vậy chuỗi đã cho phân kỳ.

Ví dụ 5

Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi điều hòa $\sum _{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\dfrac{1}{n}$.

Nhận xét: ${\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} u_{n} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{1}{n} =0$

Tuy nhiên: \[\begin{array}{l} {S_{2n} -S_{n} =1 +\dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{3} +\cdots +\dfrac{1}{n} +\dfrac{1}{n+1} +\dfrac{1}{n+2} +\dfrac{1}{n+3} +\cdots +\dfrac{1}{2n}}-(1 +\dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{3} +\cdots +\dfrac{1}{n} )\\{{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; }=\dfrac{1}{n+1} +\dfrac{1}{n+2} +\dfrac{1}{n+3} +\cdots +\dfrac{1}{2n}>\dfrac{1}{2n} +\dfrac{1}{2n} +\dfrac{1}{2n} +\cdots +\dfrac{1}{2n} =\dfrac{1}{2}} \end{array}\] Khi đó $S_{n} $ và $S_{2n} $ không cùng dần tới một giới hạn khi $n\to \infty $ ( ${\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} (S_{2n} -S_{n} )\ne 0$). Vậy chuỗi đã cho phân kỳ.

c. Tiêu chuẩn Cauchy

Định lý. Điều kiện cần và đủ để chuỗi số $\sum _{n=1}^{+\infty }u_{n} $ hội tụ là $\forall \varepsilon >0$ cho trước, tồn tại số nguyên dương $n_{0} $ sao cho khi $p>q>n_{0} $ ta có $|S_{p} -S_{q} |=\left|\sum _{n=q+1}^{p}u_{n} \right|<\varepsilon $ .

Ví dụ 6. Với chuỗi điều hòa $\sum _{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\dfrac{1}{n} $, ta thấy điều kiện của định lý Cauchy không được thỏa mãn vì không thể xảy ra bất đẳng thức $|S_{2n} -S_{n} |=\left|\sum _{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{k} \right|<\varepsilon $ nên chuỗi đã cho phân kỳ.

d. Tính chất của chuỗi số hội tụ

Tính chất 1. Nếu $\sum _{n=1}^{+\infty }u_{n}$ hội tụ và có tổng là $S$ thì $\sum _{n=1}^{+\infty }au_{n}$ ($a$-const) cũng hội tụ và có tổng là $aS$.

Ví dụ 7. Chuỗi số $\sum _{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{n(n+1)}$ hội tụ và có tổng bằng 1 thì chuỗi số $\sum _{n=1}^{+\infty }\dfrac{-2012}{n(n+1)} $ cũng hội tụ và có tổng là $-2012$.

Tính chất 2. Nếu $\sum _{n=1}^{+\infty }u_{n} $, $\sum _{n=1}^{+\infty }v_{n} $ đều hội tụ và có tổng theo thứ tự là $S$ và $S'$ thì $\sum _{n=1}^{\infty }(u_{n} +v_{n} ) $ cũng hội tụ và có tổng là $S+S'$ .

Ví dụ 8. Ta có $\sum _{n=1}^{+\infty }\dfrac{1+3^{n} }{5^{n} }=\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{5^{n} } +\sum _{n=1}^{+\infty }\left(\frac{3}{5} \right)^{n} $

Mặt khác $\sum _{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{5^{n} }$ hội tụ (vì $|q|=\dfrac{1}{5} <1$) về $S=\dfrac{a}{1-q} =\dfrac{\frac{1}{5} }{1-\frac{1}{5} }=\dfrac{1}{4} $.

Tương tự, $\sum_{n=1}^{+\infty }\left(\dfrac{3}{5} \right) ^{n} $ hội tụ (vì $|q|=\dfrac{3}{5} <1$) về $S=\dfrac{a}{1-q} =\dfrac{\frac{3}{5} }{1-\frac{3}{5} }=\dfrac{3}{2} $.

Vậy, chuỗi $\sum_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1+3^{n} }{5^{n} } $ cũng hội tụ và có tổng là $S=\dfrac{1}{4} +\dfrac{3}{2} =\dfrac{7}{4}$.

Tính chất 3. Tính hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi số không thay đổi khi ta bỏ đi một số hữu hạn số hạng đầu tiên.

Ví dụ 9. Chuỗi điều hòa $\sum_{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\dfrac{1}{n}$ phân kỳ thì chuỗi $\sum_{{\rm n}=5}^{+\infty }\dfrac{1}{n}$ cũng phân kỳ.

Ví dụ 10. Chuỗi $\sum_{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\dfrac{1}{5^{n} }$ hội tụ thì chuỗi $\sum_{{\rm n}=3}^{+\infty }\dfrac{1}{5^{n} }$ cũng hội tụ.