Ví dụ 5. Các vectơ trong Hình 1 là các vectơ vận tốc không khí chỉ ra tốc độ và hướng gió tại các điểm 10 m độ cao so với bề mặt ở khu vực vịnh San Francisco. Chúng ta thấy các mũi tên lớn nhất trong phần (a) rằng tốc độ gió lớn nhất tại thời điểm gió vào vịnh qua cầu Golden Gate. Phần (b) cho thấy mô hình gió rất khác nhau 12 giờ trước đó. Liên quan đến tất cả các điểm trong không khí chúng ta có thể tưởng tượng một véc tơ vận tốc gió. Đây là một ví dụ về trường véc tơ vận tốc.

Những ví dụ khác về trường véc tơ vận tốc được minh họa trong Hình 2: các dòng hải lưu và dòng chảy qua một cánh máy bay.

Nói chung, một trường véc tơ là một hàm mà miền xác định của nó là tập các điểm trong ${\mathbb{R}}^{2}$ (hoặc ${\mathbb{R}}^{3}$) và miền giá trị của nó là tập các véc tơ trong ${\mathbb{R}}^{2}$ (hoặc ${\mathbb{R}}^{3}$).
  Định nghĩa 1. Giả sử $D$ là tập trong ${\mathbb{R}}^{2}$ (miền phẳng). Một trường véc tơ trên ${\mathbb{R}}^{2}$ là một hàm $F$ cho tương ứng mỗi điểm $(x, y)$ trong $D$ với véc tơ hai chiều $F(x, y)$.
Cách tốt nhất để minh họa bằng hình ảnh một trường véc tơ là vẽ các mũi tên biểu thị véc tơ $F(x, y)$ bắt đầu tại điểm $(x, y)$. Tất nhiên, không thể làm điều này cho tất cả các điểm $(x, y)$, nhưng chúng ta có thể đạt được một cảm giác hợp lý của $F$ bằng cách thực hiện nó cho một vài điểm đại diện trong $D$ như trong Hình 3. Bởi vì $F(x, y)$ là một véc tơ hai chiều, chúng ta có thể viết nó qua các hàm thành phần của nó, $P$ và $Q$, như sau: $F(x, y) = P(x, y) i + Q(x, y) j = (P(x, y), Q(x, y))$, hoặc ngắn gọn, $F = Pi + Qj.$
Chú ý rằng $P$ và $Q$ là các hàm vô hướng của hai biến và đôi khi được gọi là trường vô hướng để phân biệt chúng với trường véc tơ.
Định nghĩa 2. Giả sử $E$ là tập con của ${\mathbb{R}}^{3}$. Một trường véc tơ trên ${\mathbb{R}}^{3}$ là một hàm $F$cho tương ứng mỗi điểm (x, y, z) trong $E$ với véc tơ ba chiều $F(x, y, z).$
Một trường véc tơ trên ${\mathbb{R}}^{3}$ được minh họa bằng hình ảnh trong Hình 4. Chúng ta có thể biểu diễn nó qua các hàm thành phần của nó là $P, Q$ và $R$ như sau $$F(x, y, z) = P(x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))$$ hoặc ngắn gọn, $F = Pi + Qj + Rk.$

Cho trường vector: $\vec{F}={\rm \; }\vec{F}(M)=P(x,y,z)\vec{i}+Q(x,y,z)\vec{j}+R(x,y,z)\vec{k}, (x,y,z)\in{\mathbb{R}}^{3}$. Đường cong $C\subset {{\mathbb{R}}^{3}}$ gọi là đường dòng của véc tơ $\vec{F}(M)$ nếu tại mỗi điểm $M$ trên đường cong $C$, tiếp tuyến tại đó cùng phương với véc tơ $\vec{F}(M)$. 

Ví dụ 6. Các đường sức trong từ trường hoặc điện trường là các đường dòng.

1. Nếu $\vec{F}=\vec{F}(M)=\vec{F}(x,y,z)=F_{x} (x,y,z)\vec{i}+F_{y} (x,y,z)\vec{j}+F_{z} (x,y,z)\vec{k}$ và giả sử phương trình tham số của đường dòng là $x=x(t);y=y(t);z=z(t)$ thì tiếp tuyến tại mỗi điểm $M(x,y,z)$ của nó sẽ có hệ số chỉ phương $x'(t);y'(t);z'(t)$. Mặt khác, tiếp tuyến đồng phương với vector  $\vec{F}=\vec{F}(M)$ của trường, nên $\dfrac{x'(t)}{F_{x} } =\dfrac{y'(t)}{F_{y} } =\dfrac{z'(t)}{F_{z} } $ hay $$\dfrac{x'(t)dt}{F_{x}}=\dfrac{y'(t)dt}{F_{y} } =\dfrac{z'(t)dt}{F_{z} }\Rightarrow \dfrac{dx}{F_{x} } =\dfrac{dy}{F_{y} } =\dfrac{dz}{F_{z} }$$ gọi là hệ phương trình vi phân của họ đường dòng của trường vector $\vec{F}$.
2. Qua mỗi điểm của trường vector có duy nhất một đường dòng. Các đường dòng không cắt nhau.

Cho trường vector $\vec{F}=\vec{F}(M)=\vec{F}(x,y,z)=F_{x} (x,y,z)\vec{i}+F_{y} (x,y,z)\vec{j}+F_{z} (x,y,z)\vec{k}$. Tại mỗi điểm $M(x,y,z)$ của trường, ta xét đại lượng vô hướng: $\dfrac{\partial F_{x} }{\partial x} +\dfrac{\partial F_{y} }{\partial y} +\dfrac{\partial F_{z} }{\partial z} $ và gọi là Dive của trường $\vec{F}$ tại $M$, kí hiệu: $\text{div}\vec{F}$.

Như vậy, $\text{div}\vec{F}=\dfrac{\partial F_{x} }{\partial x} +\dfrac{\partial F_{y} }{\partial y} +\dfrac{\partial F_{z} }{\partial z}$.

Định nghĩa. 

Dive của trường $\vec{F}$ tại $M_{0} $ là $\text{div}\vec{F}(M_{0} )=\dfrac{\partial F_{x} }{\partial x} (M_{0} )+\dfrac{\partial F_{y} }{\partial y} (M_{0} )+\dfrac{\partial F_{z} }{\partial z} (M_{0} )$.

Chú ý. 

Trường $\vec{F}$ là trường ống khi và chỉ khi $\text{div}\vec{F}(M)=0,\forall M\in V$.

Ví dụ 7. 

Cho trường vector $\vec{F}=(x^{3} +z)\vec{i}+(y^{3} +x)\vec{j}+(z^{3} +y)\vec{k}$. Tìm $\text{div}\vec{F}$.

Hướng dẫn. 

Trước tiên chúng ta cần xác định các thành phần của vector $\vec{F}=(F_{x},F_{y},F_{z})$, sau đó ta tìm 3 đạo hàm riêng $\dfrac{\partial F_{x} }{\partial x} ,{\rm \; }\dfrac{\partial F_{y} }{\partial y} ,{\rm \; }\dfrac{\partial F_{z} }{\partial z} $ và thay vào công thức: $$\text{div}\vec{F}=\dfrac{\partial F_{x} }{\partial x} +\dfrac{\partial F_{y} }{\partial y} +\dfrac{\partial F_{z} }{\partial z}.$$

Ta có: $\dfrac{\partial F_{x} }{\partial x} =3x^{2} ,{\rm \; \; }\dfrac{\partial F_{y} }{\partial y} =3y^{2} ,{\rm \; \; \; }\dfrac{\partial F_{z} }{\partial z} =3z^{2} $.

Vậy, $\text{div}\vec{F}=\dfrac{\partial F_{x} }{\partial x} +\dfrac{\partial F_{y} }{\partial y} +\dfrac{\partial F_{z} }{\partial z} =3x^{2} +3y^{2} +3z^{2} $.

Chú ý. Với một dòng nước đang chảy thì trong đó sẽ có một điểm xoáy $M_{0}$ nếu $\overrightarrow{rot}\vec{F}(M_{0} )\ne 0$.

Ví dụ 8. 

Cho trường vector $\vec{F}=(x^{3} +z)\vec{i}+(y^{3} +x)\vec{j}+(z^{3} +y)\vec{k}$. Tìm $\overrightarrow{rot}\vec{F}$.

Hướng dẫn. 

Tương tự Ví dụ 7, trước tiên chúng ta cần xác định các thành phần của vector $\vec{F}=(F_{x},F_{y},F_{z})$.

Sau đó, ta tìm 6 đạo hàm riêng $\dfrac{\partial F_{z} }{\partial y};{\rm \; }\dfrac{\partial F_{y} }{\partial z} ;{\rm \; }\dfrac{\partial F_{x} }{\partial z} ;{\rm \; }\dfrac{\partial F_{z} }{\partial x} ;{\rm \; }\dfrac{\partial F_{y} }{\partial x} ;{\rm \; }\dfrac{\partial F_{x} }{\partial y}$.

Cuối cùng, ta thay 6 đạo hàm riêng  vừa tìm được vào công thức: $$\overrightarrow{rot}\vec{F}=\left(\dfrac{\partial F_{z} }{\partial y} -\dfrac{\partial F_{y} }{\partial z} \right)\vec{i}+\left(\dfrac{\partial F_{x} }{\partial z} -\dfrac{\partial F_{z} }{\partial x} \right)\vec{j}+\left(\dfrac{\partial F_{y} }{\partial x} -\dfrac{\partial F_{x} }{\partial y} \right)\vec{k}.$$

Ta sẽ có kết quả $\overrightarrow{rot}\vec{F}$ =$\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}=(1,1,1)$.

Cho trường vector $\vec{F}=\vec{F}(M)=\vec{F}(x,y,z)=F_{x} (x,y,z)\vec{i}+F_{y} (x,y,z)\vec{j}+F_{z} (x,y,z)\vec{k}$. Nếu tồn tại hàm vô hướng $u=u(x,y,z)$ sao cho tại mọi điểm của $V$ ta đều có $\overrightarrow{grad}u=\vec{F}$, thì $\vec{F}$ được gọi là trường thế và $u=u(x,y,z)$ được gọi là hàm thế vị của trường $\vec{F}$.

Chú ý. Trường $\vec{F}$ là trường thế khi và chỉ khi $\overrightarrow{rot}\vec{F}(M)=\vec{0},{\rm \; \; }\forall M\in V$.

Ví dụ 9. 

Theo kết quả Ví dụ 8, trường vector $\vec{F}=(x^{3} +z)\vec{i}+(y^{3} +x)\vec{j}+(z^{3} +y)\vec{k}$ không phải là trường thế.

Ví dụ 10. 

Chứng minh trường vector  $\vec{F}=yz\vec{i}+zx\vec{j}+xy\vec{k}$  là trường thế.

Hướng dẫn. 

Tương tự Ví dụ 8, ta tìm vector $\overrightarrow{rot}\vec{F}$ $$\overrightarrow{rot}\vec{F}=\left(\dfrac{\partial F_{z} }{\partial y} -\dfrac{\partial F_{y} }{\partial z} \right)\vec{i}+\left(\dfrac{\partial F_{x} }{\partial z} -\dfrac{\partial F_{z} }{\partial x} \right)\vec{j}+\left(\dfrac{\partial F_{y} }{\partial x} -\dfrac{\partial F_{x} }{\partial y} \right)\vec{k}$$ $$\overrightarrow{rot}\vec{F}=(x-x)\vec{i}+(y-y)\vec{j}+(z-z)\vec{k}=\vec{0}$$ Vậy $\overrightarrow{rot}\vec{F}(M)=\vec{0},{\rm \; \; }\forall M\in \mathbb{R}^{3}$ nên $\vec{F}$ là trường thế.

Toán tử Haminton là “vector  tượng trưng” $\vec{\nabla }=\vec{{\rm i}}\dfrac{\partial }{\partial {\rm x}} +\vec{{\rm j}}\dfrac{\partial }{\partial {\rm y}} +\vec{{\rm k}}\dfrac{\partial }{\partial {\rm z}} $.  

Chú ý. 

1. Nhân vô hướng $\vec{\nabla }$ với chính nó ta được một đại lượng vô hướng $\dfrac{\partial ^{{\rm 2}} }{\partial {\rm x}^{{\rm 2}} } +\dfrac{\partial ^{{\rm 2}} }{\partial {\rm y}^{{\rm 2}} } +\dfrac{\partial ^{{\rm 2}} }{\partial {\rm z}^{{\rm 2}} } $ được gọi là toán tử Laplace, kí hiệu $\Delta $. Ta có: $\Delta u=\dfrac{\partial ^{{\rm 2}} {\rm u}}{\partial {\rm x}^{{\rm 2}} } +\dfrac{\partial ^{{\rm 2}} {\rm u}}{\partial {\rm y}^{{\rm 2}} } +\dfrac{\partial ^{{\rm 2}} {\rm u}}{\partial {\rm z}^{{\rm 2}} }$.
2. Hàm $u$ thỏa mãn phương trình $\Delta u=0$ được gọi là hàm điều hòa.
3. Phương trình $\dfrac{\partial ^{{\rm 2}} {\rm u}}{\partial {\rm x}^{{\rm 2}} } +\dfrac{\partial ^{{\rm 2}} {\rm u}}{\partial {\rm y}^{{\rm 2}} } +\dfrac{\partial ^{{\rm 2}} {\rm u}}{\partial {\rm z}^{{\rm 2}} } $ = 0 được gọi là phương trình Laplace. Như vậy: nghiệm của phương trình Laplace là 1 hàm điều hòa.
4. Các hàm điều hòa có nhiều ứng dụng trong vật lý khi nghiên cứu sự truyền nhiệt, sự bức xạ nhiệt, từ trường, âm học…
5. Một trường xác định bởi 1 hàm điều hòa được gọi là trường điều hòa.

Ví dụ 11. 

Trường vô hướng $u=\dfrac{{\rm 1}}{\sqrt{{\rm x}^{{\rm 2}} +{\rm y}^{{\rm 2}} +{\rm z}^{{\rm 2}} } } $  là trường điều hòa.

Hướng dẫn.  

Thật vậy, \begin{align}&\dfrac{\partial u}{\partial x} =-\dfrac{x}{\sqrt{(x^{2} +y^{2} +z^{2} )^{3} } } ;\dfrac{\partial u}{\partial y} =-\dfrac{y}{\sqrt{(x^{2} +y^{2} +z^{2} )^{3} } } ;\dfrac{\partial u}{\partial z} =-\dfrac{z}{\sqrt{(x^{2} +y^{2} +z^{2} )^{3} } },\\&\dfrac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2} } =\dfrac{3x^{2} -(x^{2} +y^{2} +z^{2} )}{\sqrt{(x^{2} +y^{2} +z^{2} )^{5} } } ;\dfrac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2} } =\dfrac{3y^{2} -(x^{2} +y^{2} +z^{2} )}{\sqrt{(x^{2} +y^{2} +z^{2} )^{5} } } ;\dfrac{\partial ^{2} u}{\partial z^{2} } =\dfrac{3z^{2} -(x^{2} +y^{2} +z^{2} )}{\sqrt{(x^{2} +y^{2} +z^{2} )^{5} } },\\&\dfrac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2} } +\dfrac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2} } +\dfrac{\partial ^{2} u}{\partial z^{2} } =\dfrac{3x^{2} -(x^{2} +y^{2} +z^{2} )}{\sqrt{(x^{2} +y^{2} +z^{2} )^{5} } } +\dfrac{3y^{2} -(x^{2} +y^{2} +z^{2} )}{\sqrt{(x^{2} +y^{2} +z^{2} )^{5} } } +\dfrac{3z^{2} -(x^{2} +y^{2} +z^{2} )}{\sqrt{(x^{2} +y^{2} +z^{2} )^{5} } } =0.\end{align} Vậy, $u=\dfrac{{\rm 1}}{\sqrt{{\rm x}^{{\rm 2}} +{\rm y}^{{\rm 2}} +{\rm z}^{{\rm 2}} } } $ là trường điều hòa.