6.2. Vi phân toàn phần và ứng dụng

Nếu số gia $\Delta z=f({{x}_{0}}+\Delta x,{{y}_{0}}+\Delta y)-f({{x}_{0}},{{y}_{0}})$có thể biểu diễn dưới dạng $\Delta z=A.\Delta x+B.\Delta y+\alpha .\rho ,$trong đó $A,B$ không phụ thuộc vào $\Delta x,\Delta y;\alpha \to 0$ khi $\rho =\sqrt{\Delta {{x}^{2}}+\Delta{{y}^{2}}}\to 0$ thì ta nói hàm số $z=f(x,y)$khả vi tại điểm $({{x}_{0}},{{y}_{0}}).$ Phần chính bậc nhất $dz=A.\Delta x+B.\Delta y$ được gọi là vi phân toàn phần của hàm số $f(x,y)$tại điểm $({{x}_{0}},{{y}_{0}})$, kí hiệu $dz=A.\Delta x+B.\Delta y$.

*Chú ý

1) Nếu hàm $z$ khả vi tại mọi điểm của $D$ thì nó khả vi trên $D$.

2) $dz$ là phần chính của $\Delta z$.

3) Nếu hàm $z$ khả vi tại $M_{0}$ thì nó liên tục tại điểm ấy.

Định lí 1

Nếu hàm $z=f(x,y)$ khả vi tại $M_{0} (x_{0} ,y_{0} )$ thì tồn tại $z'_{x}(M_0),{\rm \; }z'_{y}(M_0) $ và $$dz=z'_{x}(M_0)\Delta x+{\rm \; }z'_{y}(M_0)\Delta y.$$

Định lí 2

Nếu hàm $z=f(x,y)$ có các đạo hàm riêng ở lân cận của $M_{0} (x_{0} ,y_{0} )$ và các các đạo hàm riêng ấy liên tục tại $M_{0} (x_{0} ,y_{0} )$ thì $f(x,y)$ khả vi tại $M_{0} (x_{0} ,y_{0} )$ và $dz=z'_{x} \Delta x+{\rm \; }z'_{y} \Delta y$.

Chú ý

Theo Định lý 2 thì công thức tìm vi phân toàn phần của hàm $z$ tại $M_{0} $ là $dz=z'_{x} \Delta x+{\rm \; }z'_{y} \Delta y$. Vì $x$ và $y$ là các biến độc lập nên $\Delta x=dx;\Delta y=dy$. Do đó: $dz=z'_{x} dx+{\rm \; }z'_{y} dy$.
$d_{x} z=z'_{x} dx$ được gọi là vi phân riêng của hàm $z$ đối với $x$ tại $M_{0} $, và $d_{y} z=z'_{y} dy$ được gọi là vi phân riêng của hàm $z$ đối với $y$ tại $M_{0}$.
Với các hàm $n$ biến ($n\ge 3)$ các khái niệm vi phân riêng, vi phân toàn phần cũng được định nghĩa tương tự, ta cũng có những kết quả tương tự.

Ví dụ 3

Tìm vi phân toàn phần của hàm số $z=x^{2} e^{y} +y^{3} $.

Trước hết ta tìm các đạo hàm riêng (nếu có), theo ví dụ 1 thì $z'_{x} =2xe^{y} ;{\rm \; }z'_{y} =x^{2} e^{y} +3y^{2} $.

Nhận xét rằng các đạo hàm riêng liên tục tại $\forall (x,y)\in \mathbb{R}^{2}$, nên $z$ khả vi trên $\mathbb{R}^{2} $.

Vậy, $dz=z'_{x} dx+z'_{y} dy=2xe^{y} dx+(x^{2} e^{y} +3y^{2} )dy$.

Ví dụ 4

Tìm vi phân toàn phần của hàm số $z=\sqrt[{5}]{x^{4} +y^{4} } $.

Trước hết ta tìm các đạo hàm riêng (nếu có): $$z'_{x} =\dfrac{{\rm 4x}^{{\rm 3}} }{5\sqrt[{{\rm 5}}]{{\rm (x}^{{\rm 4}} +{\rm y}^{{\rm 4}} {\rm )}^{{\rm 4}} } };\qquad z'_{y} =\dfrac{{\rm 4y}^{{\rm 3}} }{5\sqrt[{{\rm 5}}]{{\rm (x}^{{\rm 4}} +{\rm y}^{{\rm 4}} {\rm )}^{{\rm 4}} } }.$$

Nhận xét. Các đạo hàm riêng liên tục tại $\forall (x,y)\ne (0,0)$, vậy tại những điểm ấy $$dz=\frac{{\rm 4x}^{{\rm 3}} }{5\sqrt[{{\rm 5}}]{{\rm (x}^{{\rm 4}} +{\rm y}^{{\rm 4}} {\rm )}^{{\rm 4}} } } dx+\frac{{\rm 4y}^{{\rm 3}} }{5\sqrt[{{\rm 5}}]{{\rm (x}^{{\rm 4}} +{\rm y}^{{\rm 4}} {\rm )}^{{\rm 4}} } } dy.$$

Tại điểm $(0,0)$ hàm $z$ không khả vi (vì các đạo hàm riêng của nó không tồn tại: $$\dfrac{\partial z}{\partial x} ={\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0}}\dfrac{f(0+\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}={\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0}} \dfrac{\sqrt[{5}]{(\Delta x)^{4} } }{\Delta x} =\infty,$$ cũng vậy $\dfrac{\partial {\rm z}}{\partial {\rm y}} =\infty $).

Ví dụ 5

Tìm vi phân toàn phần của hàm số $u=x^{2} y^{3} z^{4} +2022$.

Hướng dẫn. Trước hết ta tìm các đạo hàm riêng (nếu có)

Theo Ví dụ 2 $$u'_{x} =2xy^{3} z^{4};\,{\rm\;}u'_{y} =3x^{2} y^{2} z^{4};\,{\rm \; }u'_{z} =4x^{2} y^{3} z^{3}.$$

Nhận xét. Các đạo hàm riêng của hàm $u$ liên tục tại $\forall (x,y,z)\in \mathbb{R}^{3} $, nên hàm $u$ khả vi trên $\mathbb{R}^{3} $. Vậy, $$du=u'_{x} dx+u'_{y} dy+u'_{z} dz=2xy^{3} z^{4} dx+3x^{2} y^{2} z^{4} dy+4x^{2} y^{3} z^{3} dz.$$

Ví dụ vi phân toàn phần hàm số nhiều biến

Ứng dụng vi phân toàn phần vào phép tính gần đúng

Khi $\Delta x;\Delta y$ khá bé ta có thể xem $\Delta z\approx dz$.

Do đó: $f(x_{0} +\Delta x,y_{0} +\Delta y)\approx f(x_{0} ,y_{0} )+f'_{x} (x_{0} ,y_{0} )\Delta x+f'_{y} (x_{0} ,y_{0} )\Delta y$.

Ví dụ 6. Tính gần đúng trị của $\sqrt[{3}]{(1,04)^{2} +(0,05)^{2} } $.

Hướng dẫn. Trước hết ta xét hàm $f(x,y)=\sqrt[{3}]{x^{2} +y^{2} } $, khi đó $$f(x_{0} +\Delta x,y_{0} +\Delta y)=\sqrt[{3}]{(1,04)^{2} +(0,05)^{2} }.$$

Chọn $x_{0} =1;y_{0} =0\Rightarrow \Delta x=0,04;\Delta y=0,05$.

Ta có $f(1,0)=1$ và \begin{align}f'_{x}(x,y)&=\dfrac{2x}{3\sqrt[{3}]{(x^{2} +y^{2} )^{2}}} \Rightarrow f'_{x} (1,0)=\dfrac{2}{3},\\f'_{y}(x,y)&=\dfrac{2y}{3\sqrt[{3}]{(x^{2} +y^{2} )^{2} } } \Rightarrow f'_{y} (1,0)=0.\end{align}

Vậy $f(x_{0} +\Delta x,y_{0} +\Delta y)\approx f(x_{0} ,y_{0} )+f'_{x} (x_{0} ,y_{0} )\Delta x+f'_{y} (x_{0} ,y_{0} )\Delta y=1+\dfrac{2}{3} \cdot 0,04=\dfrac{3,08}{3} $.