Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng $$F(x,y,y',y^{''})=0\label{11.1.1}\tag{1}$$trong đó $F$ là hàm của 4 biến độc lập.
Nếu giải được phương trình \eqref{11.1.1} đối với $y^{''}$ thì phương trình vi phân cấp hai có dạng $y^{''}=f(x,y,y')$ trong đó $f$ là hàm của 3 biến độc lập.
$y^{''}+2xy'+x^{2} y=3x$; $y^{''}+4y=xe^{x} $ và $y^{''}+5y'+4y=\sin x$ … là các phương trình vi phân cấp hai.
Cho phương trình vi phân cấp hai $y^{''}=f(x,y,y')$.
Nếu hàm $f(x,y,y')$ liên tục trên một miền $V$ nào đó chứa điểm $(x_{0} ,y_{0} ,y'_{0} )$.
Khi đó, trong một lân cận nào đó của điểm $x=x_{0}$ tồn tại ít nhất một nghiệm $y=y(x)$ của phương trình đã cho, nghiệm ấy và đạo hàm của nó lấy tại $x=x_{0}$ những trị cho trước $y_{0}$ và $y'_{0}$.
Nếu ngoài ra $f'_{y} (x,y,y')$ và $f'_{y'} (x,y,y')$ cũng liên tục trên $V$ thì nghiệm ấy là duy nhất.
1) Điều kiện $y$ và $y'$ lấy tại $x=x_{0} $ những trị cho trước $y_{0} $ và $y'_{0} $ được gọi là điều kiện ban đầu hay điều kiện đầu và ta thường viết điều kiện đầu như sau: $y(x_{0} )=y_{0} ,{\rm \; }y'(x_{0} )=y'_{0} $ hay $\left. y\right|_{x=x_{0} } =y_{0} ,{\rm \; }\left. y'\right|_{x=x_{0} } =y'_{0}$.
2) Về phương diện hình học, định lý nói rằng nếu các hàm $f(x,y,y')$, $f'_{y} (x,y,y')$ và $f'_{y'} (x,y,y')$ cùng liên tục trong một miền chứa điểm $(x_{0} ,y_{0} ,y'_{0} )$ thì tồn tại một nghiệm duy nhất của phương trình $y^{''}=f(x,y,y')$ mà đồ thị của nó đi qua điểm $(x_{0} ,y_{0} )$ và tại điểm ấy có tiếp tuyến với hệ số góc $y'_{0} $.
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp hai là hàm số $y=\varphi (x,C_{1} ,C_{2} )$ ($C_{1} ,{\rm \; }C_{2} $ là những hằng số tùy ý) thỏa mãn phương trình vi phân ấy với mọi $C_{1} ,{\rm \; }C_{2}$ nghĩa là:
1) $y=\varphi (x,C_{1} ,C_{2} )$ thỏa mãn phương trình vi phân cấp hai với mọi trị của $C_{1} ,{\rm \; }C_{2} $.
2) $\forall (x_{0} ,y_{0} ,y'_{0} )$ ở đó các điều kiện của định lý trên được thỏa mãn ta có thể tìm được một cặp giá trị $C_{1} =C_{1}^{0} ,C_{2} =C_{2}^{0}$ sao cho hàm số $y=\varphi (x,C_{1}^{0} ,C_{2}^{0} )$ thỏa mãn điều kiện ban đầu $y(x_{0} )=y_{0} ,{\rm \; }y'(x_{0} )=y'_{0}$.
Nghiệm riêng của phương trình vi phân cấp hai là mỗi nghiệm $y=\varphi (x,C_{1}^{0} ,C_{2}^{0} )$ có được từ nghiệm tổng quát $y=\varphi (x,C_{1} ,C_{2} )$ bằng cách cho những hằng số (tùy ý) $C_{1} ,{\rm \; }C_{2} $ các trị cụ thể $C_{1}^{0} ,{\rm \; }C_{2}^{0} $.
Đôi khi giải phương trình vi phân cấp hai ta không có được nghiệm tổng quát dưới dạng tường minh $y=\varphi (x,C_{1} ,C_{2} )$ mà được một hệ thức có dạng $\Phi (x,y,C_{1} ,C_{2} )=0$ (khi đó nghiệm tổng quát được xác định dưới dạng ẩn) và $\Phi (x,y,C_{1} ,C_{2} )=0$ được gọi là tích phân tổng quát của phương trình vi phân cấp hai.
Về phương diện hình học, tích phân tổng quát của một phương trình vi phân cấp hai xác định một họ đường cong trong mặt phẳng tọa độ, phụ thuộc hai hằng số tùy ý $C_{1} ,{\rm \; }C_{2} $. Ta gọi các đường cong đó được gọi là những đường cong tích phân của phương trình vi phân cấp hai.
Thay $C_{1} ,{\rm \; }C_{2} $ vào hệ thức $\Phi (x,y,C_{1} ,C_{2} )=0$ ta được hệ thức $\Phi (x,y,C_{1}^{0} ,C_{2}^{0} )=0$ và gọi là tích phân riêng của phương trình vi phân cấp hai.
