Miền $D$ được xác định bởi: $\left\{\begin{array}{l} {a\le x\le b} \\ {c\le y\le d} \end{array}\right. $.

Giả sử $f(x,y)$ liên tục, không âm trên $D$.

Ta có: $V=\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy$ ($V$ là vật thể hình trụ có đáy là miền $D$ nằm trong mặt phẳng $Oxy$, xung quanh là mặt trụ có đường sinh song song với trục $Oz$  và phía trên là một mặt cong có phương trình $z=f(x,y)$)

Gọi $S(x)$ là diện tích thiết diện vuông góc với $Ox$ tại $x\in {\rm [}a,b{\rm ]}$ của vật thể.

Theo ứng dụng của tích phân xác định thì thể tích của vật thể hình trụ được cho bởi công thức $V=\int _{a}^{b}S(x)dx $.

Vì $f(x,y)$ liên tục trên $D$ nên $S(x)$ liên tục trên ${\rm [}a,b{\rm ]}$, do đó $S(x)$ khả tích trên ${\rm [}a,b{\rm ]}$.

Mặt khác $S(x)$ là diện tích hình thang cong có đáy là $[c,d]$, cạnh cong có phương trình $z=f(x,y)$ (trong đó $x$ được xem là hằng số).

Theo ứng dụng của tích phân xác định thì $S(x)=\int\limits_{c}^{d}f(x,y)dy $.

Vậy, ta có:  $V=\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy=\int\limits_{a}^{b}\left[\int\limits_{c}^{d}f(x,y)dy \right]dx $

Cũng có thể viết: $$\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy =\int\limits_{a}^{b}dx \int\limits_{c}^{d}f(x,y)dy.\label{3.1.2}\tag{2}$$ 

Chú ý.

1. Công thức \eqref{3.1.2} vẫn đúng khi $f(x,y)$ liên tục và âm trên $D$.

2. Việc tính tích phân bội hai được đưa về tính hai tích phân đơn liên tiếp.

Lưu ý. Khi tính tích phân bội hai ở công thức \eqref{3.1.2} ta phải tính $\int _{c}^{d}f(x,y)dy $ trước (ta xem $x$ là hằng số).

3. Thay vì tính thể tích của vật thể hình trụ bởi công thức $V=\int _{a}^{b}S(x)dx$ ta có thể tính bởi công thức $V=\int \limits_{c}^{d}S(y)dy $ ($S(y)$ là diện tích thiết diện vuông góc với $Oy$ tại $y\in [c,d]$ của vật thể đã cho), ta cũng có $S(y)=\int\limits_{a}^{b}f(x,y)dx $.

Do đó, $\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy =\int\limits_{c}^{d}dy \int\limits_{a}^{b}f(x,y)dx $.

Như vậy, $$\int\limits_{a}^{b}dx \int\limits_{c}^{d}f(x,y)dy =\int\limits_{c}^{d}dy \int\limits_{a}^{b}f(x,y)dx. \label{3.1.3}\tag{3}$$ \eqref{3.1.3} được gọi là công thức đổi thứ tự lấy tích phân bội 2.

4. Nếu $f(x,y)=f_{1} (x).f_{2} (y)$ thì $$\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy _{D}f(x,y)dxdy =\int\limits_{a}^{b}f_{1} (x)dx \int\limits_{c}^{d}f_{2} (y)dy.\label{3.1.4}\tag{4}$$Trong trường hợp này tích phân bội hai bằng tích của 2 tích phân đơn nên ta tính các tích phân đơn độc lập (tích phân nào trước cũng được) rồi đem kết quả nhân với nhau.

Ví dụ 3. Tính các tích phân $I=\iint\limits_{D}(x+y)dxdy $ và $J=\iint\limits_{D}xydxdy $ với $D: \left\{\begin{array}{l} {0\le x\le 1} \\ {-1\le y\le 2} \end{array}\right.$

Hướng dẫn. Tính các tích phân $I=\iint\limits_{D}(x+y)dxdy $ và $J=\iint\limits_{D}xydxdy $ với $D: \left\{\begin{array}{l} {0\le x\le 1} \\ {-1\le y\le 2} \end{array}\right.$

Miền $D$ được xác định bởi: $\left\{\begin{array}{l} {a\le x\le b} \\ {y_{1} (x)\le y\le y_{2} (x)} \end{array}\right. $ Với $y_{1} (x);y_{2} (x)$ là những hàm liên tục và đơn trị trên ${\rm [}a,b{\rm ]}$.

Giả sử $f(x,y)$ liên tục, không âm trên $D$.

Tương tự như trường hợp trên, ta có: $V=\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy=\int\limits_{a}^{b}S(x)dx $.

Với $S(x)$ là diện tích thiết diện vuông góc với $Ox$ tại $x\in {\rm [}a,b{\rm ]}$ của vật thể.

Mặt khác, $S(x)$ là diện tích hình thang cong có đáy là $[y_{1} (x),y_{2} (x){\rm ]}$, cạnh cong có phương trình $z=f(x,y)$. Nghĩa là $S(x)=\int\limits_{y_{1} (x)}^{y_{2} (x)}f(x,y)dy $. Do đó, $$\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy =\int _{a}^{b}\left[\int\limits_{y_{1} (x)}^{y_{2} (x)}f(x,y)dy \right]dx$$ Cũng có thể viết $$\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy =\int\limits_{a}^{b}dx \int\limits_{y_{1} (x)}^{y_{2} (x)}f(x,y)dy.\label{3.1.5}\tag{5}$$

Chú ý. Công thức \eqref{3.1.5} vẫn đúng khi $f(x,y)$ liên tục và âm trên $D$.

Miền $D$ được xác định bởi: $\left\{\begin{array}{l} {x_{1} (y)\le x\le x_{2} (y)} \\ {c\le y\le d} \end{array}\right. $ Với $x_{1} (y);x_{2} (y)$ là những hàm liên tục và đơn trị trên  ${\rm [}c,d{\rm ]}$.

Giả sử $f(x,y)$ liên tục, không âm trên $D$.

Tương tự như trường hợp trên, ta có: $V=\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy =\int\limits_{c}^{d}S(y)dy $

Với $S(y)$ là diện tích thiết diện vuông góc với $Oy$ tại $y\in [c,d]$ của vật thể.

$S(y)$ là diện tích hình thang cong có đáy là $[x_{1} (y),x_{2} (y){\rm ]}$, cạnh cong có phương trình $z=f(x,y)$. Nghĩa là $S(y)=\int\limits_{x_{1} (y)}^{x_{2} (y)}f(x,y)dx $. Do đó, $$\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy =\int\limits_{c}^{d}\left[\int _{x_{1} (y)}^{x_{2} (y)}f(x,y)dx \right]dy.$$Cũng có thể viết: $$\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy =\int\limits_{c}^{d}dy \int\limits_{x_{1} (y)}^{x_{2} (y)}f(x,y)dx.\label{3.1.6}\tag{6} $$

 Công thức \eqref{3.1.6} vẫn đúng khi $f(x,y)$ liên tục và âm trên $D$ là miền bất kì (miền lồi-mọi đường thẳng song song với các trục Ox, Oy cắt $D$ tại tối đa 2 điểm).

 

$f(x,y)$ liên tục, đơn trị và không âm trên $D$.

Dựng hình chữ nhật nhỏ nhất có các cạnh song song với $Ox,Oy$ chứa $D$.

Giả sử, hình chữ nhật ấy được xác định bởi $\left\{\begin{array}{l} {a\le x\le b} \\ {c\le y\le d} \end{array}\right. $

Gọi M, N, P, Q là các giao điểm của biên hình chữ nhật với biên của $D$.

Các điểm M và P chia biên của $D$ thành hai cung: cung MNP và cung MQP có phương trình lần lượt là $y=y_{1} (x);{\rm \; }y=y_{2} (x)$.

Theo trên ta có: $\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy =\int\limits_{a}^{b}dx \int\limits_{y_{1} (x)}^{y_{2} (x)}f(x,y)dy $.

Các điểm N và Q chia biên của $D$ thành hai cung: cung NMQ và cung NPQ có phương trình lần lượt là $x=x_{1} (y);{\rm \; }x=x_{2} (y)$ .

Ta có $\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy =\int\limits_{c}^{d}dy \int\limits_{x_{1} (y)}^{x_{2} (y)}f(x,y)dx $.

Vậy, ta có công thức đổi thứ tự lấy tích phân (tổng quát) trong tính tích phân bội hai là $$\int\limits_{a}^{b}dx \int\limits_{y_{1} (x)}^{y_{2} (x)}f(x,y)dy =\int\limits_{c}^{d}dy \int\limits_{x_{1} (y)}^{x_{2} (y)}f(x,y)dx. $$

Ví dụ 4. 

Cho miền $D$ được giới hạn bởi các đường $x=1;y=0;y=x^{2} $. Tính diện tích miền $D$ và tính tích phân $I=\iint\limits_{D}(2x+y)dxdy $.

Hướng dẫn. 

Vẽ hình biểu diễn miền $D$. Tiếp theo, ta biểu diễn miền $D$ (nên căn cứ vào hình vẽ miền $D$) Ta có:  $D:\left\{\begin{array}{l} {0\le x\le 1} \\ {0\le y\le x^{2} } \end{array}.\right. $  Để tính diện tích miền $D$ và tính tích phân $I$ ta áp dụng công thức \eqref{3.1.5}. Vậy, \begin{align}S_{D} &=\iint\limits_{D}dxdy =\int\limits_{0}^{1}dx \int\limits_{0}^{x^{2} }dy =\int\limits_{0}^{1}y\Big|_{y=0}^{y=x^{2} } dx\\&=\int _{0}^{1}x^{2} dx =\dfrac{1}{3} x^{3} \Big|_{0}^{1} =\dfrac{1}{3} \text{ (đvdt)}.\end{align}

Và \begin{align}I&=\iint\limits_{D}(2x+y)dxdy =\int\limits_{0}^{1}dx \int\limits_{0}^{x^{2} }(2x+y)dy =\int\limits_{0}^{1}\left. \left(2xy+\dfrac{1}{2} y^{2} \right)\right|_{y=0}^{y=x^{2} } dx\\&=\int\limits_{0}^{1}\left(2x^{3} +\dfrac{1}{2} x^{4} \right)dx =\left. \left(\dfrac{1}{2} x^{4} +\dfrac{1}{10} x^{5} \right)\right|_{0}^{1} =\dfrac{3}{5}.\end{align}