Tìm các đạo hàm riêng $\dfrac{\partial u}{\partial x} (M_{0} );\dfrac{\partial u}{\partial y} (M_{0} );\dfrac{\partial u}{\partial z} (M_{0} )$ sau đó thay vào công thức $$\overrightarrow{\text{grad}}u(M_{0} )=\dfrac{\partial u}{\partial x} (M_{0} )\vec{i}+\dfrac{\partial u}{\partial y} (M_{0} )\vec{j}+\dfrac{\partial u}{\partial z} (M_{0} )\vec{k}$$.

Tìm các đạo hàm riêng $\dfrac{\partial u}{\partial x};\dfrac{\partial u}{\partial y} ;\dfrac{\partial u}{\partial z} $ sau đó thay vào công thức $$\overrightarrow{\text{grad}}u=\dfrac{\partial u}{\partial x} \vec{i}+\dfrac{\partial u}{\partial y} \vec{j}+\dfrac{\partial u}{\partial z} \vec{k}.$$

Tìm các đạo hàm riêng $\dfrac{\partial f(x,y,z)}{\partial x} ;\dfrac{\partial f(x,y,z)}{\partial y} ;\dfrac{\partial f(x,y,z)}{\partial z} $ 

Tiếp theo, tìm các cosin chỉ hướng của vector: $\vec{u}$: $\cos \alpha =\dfrac{u_{1} }{|\vec{u}|} ;\cos \beta =\dfrac{u_{2} }{|\vec{u}|} ;\cos \gamma =\dfrac{u_{3} }{|\vec{u}|} $

Cuối cùng, thay vào công thức: \[\dfrac{\partial f(x,y,z)}{\partial \vec{u}} =\dfrac{\partial f(x,y,z)}{\partial x} \cos \alpha +\dfrac{\partial f(x,y,z)}{\partial y} \cos \beta +\dfrac{\partial f(x,y,z)}{\partial z} \cos \gamma \] 

Tìm các đạo hàm riêng  $\dfrac{\partial f(0,0,0)}{\partial x} ;\dfrac{\partial f(0,0,0)}{\partial y} ;\dfrac{\partial f(0,0,0)}{\partial z}$. 

Tiếp theo, tìm các cosin chỉ hướng của vector $\vec{u}$: $\cos \alpha =\dfrac{u_{1} }{|\vec{u}|} ;\cos \beta =\dfrac{u_{2} }{|\vec{u}|} ;\cos \gamma =\dfrac{u_{3} }{|\vec{u}|}$.

Cuối cùng, thay vào công thức: $$\dfrac{\partial f(0,0,0)}{\partial \vec{u}} =\dfrac{\partial f(0,0,0)}{\partial x} \cos \alpha +\dfrac{\partial f(0,0,0)}{\partial y} \cos \beta +\dfrac{\partial f(0,0,0)}{\partial z} \cos \gamma.$$

Hàm số $f(x,y)=x^{2} +y^{2} +3xy$ tăng nhanh nhất tại điểm $M_{0} (-1,2)$ theo hướng của vector $\overrightarrow{grad}u(M_{0} )$ ($\vec{u}$ cùng hướng với $\overrightarrow{grad}u(M_{0} )$), đạo hàm của $f(x,y)$ theo hướng của $\vec{u}$ đó sẽ đạt cực đại và bằng $|\overrightarrow{grad}u(M_{0} )|$.

Giả sử cho trường vector $\vec{F}=F_{x} \vec{i}+F_{y} \vec{j}+F_{z} \vec{k}$.

Tham khảo khái niệm trường vector, trường thế, các công thức $\text{div}\vec{F}=\dfrac{\partial F_{x} }{\partial x} +\dfrac{\partial F_{y} }{\partial y} +\dfrac{\partial F_{z} }{\partial z} $ và $\overrightarrow{\text{rot}}\vec{F}=\left(\dfrac{\partial F_{z} }{\partial y} -\dfrac{\partial F_{y} }{\partial z} \right)\vec{i}+\left(\dfrac{\partial F_{x} }{\partial z} -\dfrac{\partial F_{z} }{\partial x} \right)\vec{j}+\left(\dfrac{\partial F_{y} }{\partial x} -\dfrac{\partial F_{x} }{\partial y} \right)\vec{k}$. 

Áp dụng công thức tính $\text{div}$ đối với trường vector: $\vec{F}=F_{x} \vec{i}+F_{y} \vec{j}+F_{z} \vec{k}$: $\text{div}\vec{F}=\dfrac{\partial F_{x} }{\partial x} +\dfrac{\partial F_{y} }{\partial y} +\dfrac{\partial F_{z} }{\partial z} $.

Áp dụng công thức $\overrightarrow{\text{rot}}\vec{F}$.

Giả sử cho trường vector $\vec{F}=F_{x} \vec{i}+F_{y} \vec{j}+F_{z} \vec{k}$.

Tham khảo khái niệm trường vector, trường thế, các công thức $\text{div}\vec{F}=\dfrac{\partial F_{x} }{\partial x} +\dfrac{\partial F_{y} }{\partial y} +\dfrac{\partial F_{z} }{\partial z} $ và $$\overrightarrow{\text{rot}}\vec{F}=\left(\dfrac{\partial F_{z} }{\partial y} -\dfrac{\partial F_{y} }{\partial z} \right)\vec{i}+\left(\dfrac{\partial F_{x} }{\partial z} -\dfrac{\partial F_{z} }{\partial x}\right)\vec{j}+\left(\dfrac{\partial F_{y} }{\partial x} -\dfrac{\partial F_{x} }{\partial y} \right)\vec{k}.$$

Tìm các đạo hàm riêng tại $M_{0}$: $\dfrac{\partial u}{\partial x} (M_{0} );\dfrac{\partial u}{\partial y} (M_{0} );\dfrac{\partial u}{\partial z} (M_{0} )$ để thay vào công thức sau tìm: $$\vec{l}=\overrightarrow{\text{grad}}u(M_{0} )=\dfrac{\partial u}{\partial x} (M_{0} )\vec{i}+\dfrac{\partial u}{\partial y} (M_{0} )\vec{j}+\dfrac{\partial u}{\partial z} (M_{0} )\vec{k}=l_{1} \vec{i}+l_{2} \vec{j}+l_{3} \vec{k}.$$

Tiếp theo, tìm các cosin chỉ hướng của vector $\vec{l}$: $\cos \alpha =\dfrac{l_{1} }{|\vec{l}|} ;\cos \beta =\dfrac{l_{2} }{|\vec{l}|} ;\cos \gamma =\dfrac{l_{3} }{|\vec{l}|} $ 

Cuối cùng, thay vào công thức: $\dfrac{\partial u}{\partial \vec{l}} =\dfrac{\partial u}{\partial x} \cos \alpha +\dfrac{\partial u}{\partial y} \cos \beta +\dfrac{\partial u}{\partial z} \cos \gamma $