Tìm thể tích của vật thể hình trụ giới hạn bởi mặt phẳng $Oxy$, một mặt trụ có đường sinh song song với trục $Oz$ và một mặt cong có phương trình $z=f(x,y)$ ($f(x,y)\ge 0$).

Gọi $D$ là miền đóng hữu hạn trong mặt phẳng $Oxy$ giới hạn bởi giao tuyến của mặt trụ và mặt phẳng $Oxy$, $D$ được gọi là đáy của vật thể hình trụ, $f(x,y)$ liên tục và đơn trị trên $D$.

Chia miền $D$ một cách tùy ý thành $n$ mảnh nhỏ không giẫm lên nhau, gọi tên và cả diện tích của các mảnh ấy là $\Delta S_{1} ,\Delta S_{2},\ldots,\Delta S_{n}$.

Lấy mỗi mảnh nhỏ $\Delta S_{i} {\rm \; \; }(i=\overline{1,n})$ làm đáy, dựng vật thể hình trụ mà mặt xung quanh có đường sinh song song với trục $Oz$, phía trên được giới hạn bởi mặt cong có phương trình $z=f(x,y)$.

Như vậy vật thể hình trụ đang xét được chia thành $n$ vật thể hình trụ nhỏ.

Trong mảnh nhỏ $\Delta S_{i} $ ta lấy một điểm $M_{i} (x_{i} ,y_{i} )$ tùy ý, ta có $z(M_{i} )=f(x_{i} ,y_{i} )$.

Nếu $\Delta S_{i} $ khá nhỏ, ta có thể xem thể tích của vật thể hình trụ thứ $i$  là $\Delta V_{i} $  xấp xỉ thể tích của một hình trụ thẳng có diện tích đáy $\Delta S_{i} $ và chiều cao $z(M_{i} )=f(x_{i} ,y_{i} )$, nghĩa là $\Delta V_{i} \approx f(x_{i} ,y_{i} ).\Delta S_{i} $.

Nếu mọi $\Delta S_{i} $ đều khá nhỏ thì thể tích của vật thể hình trụ là: $$V=\sum _{i=1}^{n}\Delta V_{i} \approx \sum _{i=1}^{n}f(x_{i} ,y_{i} ).\Delta S_{i}.$$

Phép tính này càng chính xác nếu $n$ càng lớn (các $\Delta S_{i} $ càng nhỏ, nghĩa là đường kính $d_{i} $ của $\Delta S_{i} $ càng nhỏ).

Do đó thể tích của vật thể hình trụ bằng giới hạn nếu có của $\sum\limits_{i=1}^{n}f(x_{i} ,y_{i} ).\Delta S_{i} $ khi $n\to \infty $ sao cho đường kính lớn nhất trong các đường kính của các $\Delta S_{i} $ dần tới 0. Nghĩa là: $$V={\mathop{\lim }\limits_{\max d_{i} \to 0}} \sum\limits_{i=1}^{n}f(x_{i} ,y_{i} ) .\Delta S_{i}.$$

Ngoài bài toán trên, trong các lĩnh vực khác nhau của khoa học kĩ thuật còn có nhiều bài toán mà kết quả đều đưa đến tìm giới hạn của một tổng có dạng trên. Toán học đã định nghĩa cho khái niệm này là tích phân bội hai hay tích phân kép hay tích phân 2 lớp.

Cho hàm $z=f(x,y)$ xác định trên miền hữu hạn $D$ nằm trong mặt phẳng $Oxy$.

Chia $D$ một cách tùy ý thành n mảnh nhỏ không giẫm lên nhau, gọi tên và cả diện tích của các mảnh ấy là $\Delta S_{1} ,\Delta S_{2},\ldots,\Delta S_{n} $.

Trong mỗi mảnh nhỏ $\Delta S_{i} {\rm \; \; }(i=\overline{1,n})$ ta lấy một điểm $M_{i} (x_{i} ,y_{i} )$ tùy ý và lập tổng $I_{n} =\sum\limits_{i=1}^{n}f(x_{i} ,y_{i} ).\Delta S_{i}$ ($I_{n} $ được gọi là tổng tích phân của hàm $f(x,y)$ trên miền $D$).

Nếu khi $n\to \infty $ sao cho $\max d_{i} \to 0$ mà $I_{n} $ dần tới một giới hạn xác định $I$ không phụ thuộc vào cách chia $D$ và cách lấy điểm $M_{i} $ trong $\Delta S_{i} $ thì $I$ được gọi là tích phân bội hai hay tích phân kép của hàm $f(x,y)$ trong miền $D$.

Kí hiệu $\iint\limits_{D}f(x,y)dS $. Như vậy: $$\iint\limits_{D}f(x,y)dS ={\mathop{\lim }\limits_{\max d_{i} \to 0}} \sum _{i=1}^{n}f(x_{i} ,y_{i} ) .\Delta S_{i}\label{3.1.1}\tag{1} $$ Trong đó: $D$ được gọi là miền lấy tích phân,

             $f(x,y)$ là hàm dưới dấu tích phân,

             $f(x,y)dS$ là biểu thức dưới dấu tích phân,

             $x,{\rm \; }y$  là các biến tích phân,

             $dS$ là yếu tố diện tích.

Thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt $z=0;{\rm \; }z=2-x^{2} -y^{2} ;{\rm \; }x^{2} +y^{2} =1$ là $\iint\limits_{x^{2} +y^{2} \le 1}(2-x^{2} -y^{2} )dS $.

1. Nếu tồn tại tích phân \eqref{3.1.1} ta nói $f(x,y)$ khả tích trên $D$. Điều kiện của hàm $f(x,y)$ khả tích trên $D$ là liên tục trên $D$.
2. Ý nghĩa hình học: Nếu $f(x,y)\ge 0$ và liên tục trên $D$ thì thể tích của vật thể hình trụ giới hạn bởi mặt phẳng $Oxy$, một mặt trụ có đường sinh song song với trục $Oz$ và một mặt cong có phương trình $z=f(x,y)$ là $V=\iint\limits _{D}f(x,y)dS $. Đặc biệt, nếu $f(x,y)=1{\rm \; \; }\forall (x,y)\in D$ thì $\iint\limits_{D}dS =S_{D} $.
3. Giá trị của tích phân bội hai không phụ thuộc vào cách chia miền $D$ nên ta có thể chia $D$  một cách đặc biệt: Chia bởi lưới các đường thẳng song song với các trục $Ox,Oy$. Với cách chia này thì mỗi mảnh $\Delta S_{i} $ nói chung là một hình chữ nhật, do đó $dS=dxdy$ (vì $x,y$ là các biến độc lập). Vậy, $$\iint\limits _{D}f(x,y)dS =\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy.$$
4. Tích phân bội hai chỉ phụ thuộc hàm dưới dấu tích phân và miền lấy tích phân chứ không phụ thuộc vào biến tích phân, nghĩa là: $$\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy =\iint\limits _{D}f(u,v)dudv.$$

 Thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt $z=0;{\rm \; }z=2-x^{2} -y^{2} ;{\rm \; }x^{2} +y^{2} =1$ là $\iint\limits_{x^{2} +y^{2} \le 1}(2-x^{2} -y^{2} )dxdy $.

Tích phân bội hai có những tính chất tương tự như tính chất của tích phân xác định (tích phân đơn).

Tính chất 1. $\iint\limits_{D}[f(x,y)\pm g(x,y)]dxdy =\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy \pm \iint\limits_{D}g(x,y)dxdy $.

Tính chất 2. $\iint\limits_{D}cf(x,y)dxdy =c\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy {\rm \; \; }(c-const)$.

Tính chất 3. $D=D_{1} \cup D_{2} $: $\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy =\iint\limits_{D_{1} }f(x,y)dxdy +\iint\limits_{D_{2} }f(x,y)dxdy $.

Tính chất 4. $S_{D} =\iint\limits_{D}dxdy $.

Tính chất 5. Nếu $f(x,y)\le g(x,y){\rm \; \; }\forall (x,y)\in D$ thì $\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy \le \iint\limits_{D}g(x,y)dxdy $.

Tính chất 6. Nếu $m\leq f(x,y)\leq M\,\forall ((x,y)\in D)$ thì ta có: $mS_{D} \iint\limits_{D}f(x,y)dxdy \le MS_{D} $.

Tính chất 7 (định lý về giá trị trung bình)

Nếu $f(x,y)$ liên tục trên miền liên thông $D$ thì trên $D$ tồn tại ít nhất một điểm $M_{0} (x_{0} ,y_{0} )$ sao cho: $f(x_{0} ,y_{0} )=\dfrac{1}{S_{D} }\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy $.