Cho hệ thức giữa 2 biến $x,y$ có dạng $$F(x,y)=0.\label{2.3.1}\tag{1}$$ Nếu với mỗi trị $x=x_{0} $ trong một khoảng nào đó, có 1 hay nhiều trị xác định $y=y_{0} $ sao cho $F(x_{0} ,y_{0} )=0$ thì ta nói hệ thức \eqref{2.3.1} xác định một hay nhiều hàm ẩn $y$ theo $x$ trong khoảng ấy.
Hệ thức $x^{3} +y^{3} -3=0$ xác định 1 hàm ẩn (dạng tường minh) trên $\mathbb{R}$ là $y=\sqrt[{3}]{3-x^{3} }$.
Hệ thức $x^{2} +y^{2} -4=0$ xác định 2 hàm ẩn (dạng tường minh) trên ${\rm [}-2,2]$ là $y=\pm \sqrt{4-x^{2}} $.
Hệ thức $x^{2} +y^{2} +4=0$ không xác định 1 hàm ẩn nào.
Hệ thức $x^{y} -y^{x} =0{\rm \; }(x>0,y>0)$ không rút được $y$ theo $x$ (không tìm được biểu thức của hàm ẩn dưới dạng tường minh).
Tương tự:
Các định lý (về sự tồn tại, liên tục và khả vi của các hàm ẩn).
Định lý 1. Giả sử $F(x_{0} ,y_{0} )=0$. Nếu $F(x,y)$ có các đạo hàm riêng liên tục ở lân cận điểm $M_{0} (x_{0} ,y_{0} )$ và nếu $F'_{y} (M_{0} )\ne 0$ thì hệ thức \eqref{2.3.1} xác định một hàm ẩn $y=f(x)$ trong một lân cận nào đó của $x_{0} $, hàm ấy có trị $y_{0} $ khi $x=x_{0} $, nó liên tục và có đạo hàm liên tục trong lân cận của $x_{0} $.
Định lý 2. Giả sử $F(x_{0} ,y_{0} ,z_{0} )=0$. Nếu $F(x,y,z)$ có các đạo hàm riêng liên tục ở lân cận điểm $M_{0} (x_{0} ,y_{0} ,z_{0} )$ và nếu $F'_{z} (M_{0} )\ne 0$ thì hệ thức \eqref{2.3.2} xác định một hàm ẩn $z=f(x,y)$ trong một lân cận nào đó của điểm $(x_{0} ,y_{0} )$, hàm ấy có trị $z_{0} $ khi $x=x_{0} ,y=y_{0} $, nó liên tục và có các đạo hàm liên tục trong lân cận của điểm $(x_{0} ,y_{0} )$.
Định lý 3. Giả sử $F(x_{0} ,y_{0} ,z_{0} ,u_{0} ,v_{0} )=0;{\rm \; }G(x_{0} ,y_{0} ,z_{0} ,u_{0} ,v_{0} )=0$. Nếu các hàm $F(x,y,z,u,v);{\rm \; }G(x,y,z,u,v)$ có các đạo hàm riêng liên tục ở lân cận điểm $M_{0} (x_{0} ,y_{0} ,z_{0} ,u_{0} ,v_{0} )$ và nếu $\dfrac{D(F,G)}{D(u,v)} (M_{0} )\ne 0$ thì hệ phương trình \eqref{2.3.3} xác định một cặp hàm ẩn $u=f(x,y,z);{\rm \; }v=g(x,y,z)$ trong một lân cận nào đó của điểm $(x_{0} ,y_{0} ,z_{0} )$, các hàm ấy có trị $u_{0} ,{\rm \; }v_{0} $ khi $x=x_{0} ,{\rm \; }y=y_{0} ,{\rm \; }z=z_{0} $. Nó liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận của $(x_{0} ,y_{0} ,z_{0} )$.
Giả sử các giả thiết của Định lý 1 được thỏa mãn, khi ấy hệ thức \eqref{2.3.1} xác định một hàm ẩn $y=f(x)$ liên tục và có đạo hàm liên tục trong một lân cận nào đó của $x_{0}$.
Ta có: $F(x,f(x))=0$. Lấy đạo hàm 2 vế đối với $x$: $F'_{x} +F'_{y} \cdot \frac{dy}{dx}=0$.
Vì $F'_{y} \ne 0$ nên $F'_{x} +F'_{y} \cdot \dfrac{dy}{dx} =0\Rightarrow \dfrac{dy}{dx} =-\dfrac{F'_{x}}{F'_{y}}$.
Cho $F(x,y)=x^{3} +y^{3} -3=0$ xác định $y$ là hàm ẩn của $x$. Tìm $\dfrac{dy}{dx} $.
Trước hết ta tìm $F'_{x};\,F'_{y}$: $F'_{x}=3x^{2};\,F'_{y} =3y^{2}$.
Sau đó ta thay vào công thức $\dfrac{dy}{dx} =-\dfrac{F'_{x} }{F'_{y} }$ ta có $\dfrac{dy}{dx} =-\dfrac{x^{2} }{y^{2} } {\rm \; \; }(y\ne 0)$.
Giả sử các giả thiết của Định lý 2 được thỏa mãn, khi ấy hệ thức \eqref{2.3.2}xác định một hàm ẩn $z=f(x,y)$ liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong 1 miền nào đó. Ta có: $F(x,y,f(x,y))=0$.
Lấy đạo hàm 2 vế đối với $x$: $F'_{x} +F'_{z} \cdot z'_{x} =0$.
Lấy đạo hàm 2 vế đối với $y$: $F'_{y} +F'_{z} \cdot z'_{y} =0$.
Vậy, vì $F'_{z} \ne 0$ nên $z'_{x} =-\dfrac{F'_{x} }{F'_{z} }$, $z'_{y} =-\dfrac{F'_{y} }{F'_{z} }$.
Cho hệ thức $e^{3} +xy+z^{3} -2022=0$ xác định $z$ là hàm ẩn của $x,y$. Tìm $z'_{x} ;{\rm \; }z'_{y} $.
Trước hết ta đặt $F(x,y,z)=e^{3} +xy+z^{3} -2022=0$.
Tiếp theo, tìm $F'_{x};\,F'_{y};\,F'_{z}$: $F'_{x} =y;{\rm \; }F'_{y} =x;{\rm \; }F'_{y} =e^{z} +3z^{2}$.
Sau đó ta thay vào các công thức: $z'_{x} =-\dfrac{F'_{x} }{F'_{z} } $, $z'_{y} =-\dfrac{F'_{y} }{F'_{z} } $.
Ta có: $z'_{x} =-\dfrac{y}{e^{z} +3z^{2} } $, $z'_{y} =-\dfrac{x}{e^{z} +3z^{2} }$.
