Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm có dạng $\sum\limits_{n=0}^{+\infty }a_{n} (x-x_{o} )^{n}$.

Lưu ý. Ta chỉ cần xét chuỗi lũy thừa trong trường hợp $x_{0}=0$: $\sum\limits_{n=0}^{+\infty }a_{n} x^{n} $  (vì mọi chuỗi lũy thừa có dạng $\sum\limits_{n=0}^{+\infty }a_{n} (x-x_{0} )^{n}$ bằng phép đổi biến $X:=x-x_{0} $ ta đều đưa được về dạng $\sum\limits_{n=0}^{+\infty }a_{n} x^{n}$.

 Nếu $\sum\limits_{n=0}^{+\infty }a_{n} x^{n} $ hội tụ tại $x=x_{0} \ne 0$ thì nó hội tụ tuyệt đối tại mọi $x$ thỏa mãn $|x|<|x_{0}|$. 

Nếu $\sum\limits_{n=0}^{+\infty }a_{n} x^{n}$ phân kỳ tại $x=x_{0}$ thì nó phân kỳ tại  mọi $x$ thỏa mãn $|x|>|x_{0} |$.    

Vậy, luôn tồn tại số $R\in (0,+\infty )$ sao cho $\sum\limits_{n=0}^{+\infty }a_{n} x^{n} $ hội tụ tuyệt đối trên $(-R,R)$ và phân kỳ trên các khoảng $(-\infty ,-R);\,(R,+\infty )$. Còn tại $x=-R;\,x=R$ thì $\sum\limits_{n=0}^{+\infty }a_{n} x^{n} $ có thể hội tụ có thể phân kỳ. Số $R$ nói trên được gọi là bán kính hội tụ và $(-R,R)$ được gọi là khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum\limits_{n=0}^{+\infty }a_{n} x^{n}$.

Như vậy: Muốn tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum\limits_{n=0}^{+\infty }a_{n} x^{n} $ ta tìm khoảng hội tụ $(-R,R)$, rồi xét thêm sự hội tụ tại hai đầu mút $x=-R$ và $x=R$.

Định lý. Nếu ${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \dfrac{\left|a_{n+1} \right|}{\left|a_{n} \right|} =\rho $  (hoặc ${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt[{n}]{\left|a_{n} \right|} =\rho $) thì bán kính hội tụ $R$ của chuỗi  được xác định theo công thức: $$R=\begin{cases}\dfrac{1}{\rho}&\text{với }\rho \in (0,+\infty )\\0&\text{với }\rho =+\infty\\+\infty&\text{với }\rho =0\end{cases}.$$

Ví dụ 6. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{x^{n} }{n\sqrt[{3}]{n^{2} } } $.

Ví dụ 7. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }(-1)^{n} \dfrac{x^{n} }{n^{7} } $.

Hướng dẫn. Tương tự Ví dụ 6, trước hết phải xác định: $a_{n} =\dfrac{(-1)^{n} }{n^{7} }$ để lựa chọn công thức phù hợp tìm: $$\rho={\mathop{\lim}\limits_{n\to +\infty }} \dfrac{\left|a_{n+1} \right|}{\left|a_{n} \right|} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \left(\dfrac{n}{n+1} \right)^{7} =1\in (0,+\infty ).$$    Suy ra, bán kính hội tụ $R=1$, khoảng hội tụ  $(-1,1)$.

Tại $x=-1$ ta có chuỗi số: $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{n^{7} } $ hội tụ (là chuỗi Riemann có $\alpha =7>1$).

Tại $x=-1$ ta có chuỗi số: $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{(-1)^{n} }{n^{7} } $ hội tụ (là chuỗi đan dấu, thỏa mãn các điều kiện của định lý Leibniz).

Vậy, miền hội tụ của chuỗi lũy thừa đã cho là $[-1,1]$.

Ví dụ 8. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum\limits_{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\left(\dfrac{5nx}{n+1} \right)^{n} $.

Hướng dẫn. Tương tự các Ví dụ 6 và 7, trước hết phải xác định: $a_{n} =\left(\dfrac{5n}{n+1} \right)^{n} $  để lựa chọn công thức phù hợp tìm: $$\rho ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt[{n}]{\left|a_{n} \right|} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt[{n}]{\left(\dfrac{5n}{n+1} \right)^{n} } ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \dfrac{5n}{n+1} =5\in (0,+\infty ).$$     Suy ra, bán kính hội tụ $R=\dfrac{1}{5} $, khoảng hội tụ $\left(-\dfrac{1}{5},\dfrac{1}{5} \right)$.

Tại $x=-\dfrac{1}{5} $ ta có chuỗi số: $\sum\limits_{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }(-1)^{n} \left(\dfrac{n}{n+1} \right)^{n} $ phân kỳ  ($u_{n} $  không dần tới 0 khi $n\to \infty $)

Tại $x=\dfrac{1}{5} $ ta có chuỗi số: $\sum\limits_{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\left(\dfrac{n}{n+1} \right)^{n} $ phân kỳ (không dần tới 0 khi $n\to \infty $).

Vậy, miền hội tụ của chuỗi lũy thừa đã cho là $\left(-\dfrac{1}{5},\dfrac{1}{5}\right)$.

Giả sử chuỗi lũy thừa $\sum\limits_{n=0}^{+\infty }a_{n} x^{n} $ có khoảng hội tụ là $(-R,R)$.

Tính chất 1. Chuỗi $\sum\limits_{n=0}^{+\infty }a_{n} x^{n}$ hội tụ đều trên mọi $[a,b]$ bất kỳ trong $(-R,R)$.

Tính chất 2. Tổng $S(x)$ của chuỗi $\sum\limits_{n=0}^{+\infty }a_{n} x^{n}$ là hàm liên tục trên $(-R,R)$.

Tính chất 3. Có thể lấy tích phân từng số hạng của chuỗi $\sum\limits_{n=0}^{+\infty }a_{n} x^{n} $ trên $[a,b]$ bất kỳ trong $(-R,R)$: $$\int\limits_{a}^{b}S(x)dx =\int _{a}^{b}a_{0} dx +\int\limits_{a}^{b}a_{1} xdx +\cdots +\int\limits_{a}^{b}a_{n} x^{n} dx +\cdots $$

Đặc biệt, $\forall x\in (-R,R)$: $$\int\limits_{0}^{x}S(x)dx =\int _{0}^{x}a_{0} dx +\int\limits_{0}^{x}a_{1} xdx +\cdots +\int\limits_{0}^{x}a_{n} x^{n} dx +\cdots =a_{0} x+\dfrac{a_{1}}{2} x^{2} +\cdots +\dfrac{a_{n} }{n+1} x^{n+1} +\cdots $$     Tính chất 4. Có thể lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi $\sum\limits_{n=0}^{+\infty }a_{n} x^{n} $ tại mọi điểm trong khoảng $(-R,R)$: $$S' \left(x\right)=a_{1} +2a_{2} x+\cdots +na_{n} x^{n-1} +\cdots$$