Phương trình đã cho là phương trình tuyến tính thuần nhất ($y^{''}+py'+qy=0$).

Viết phương trình đặc trưng của phương trình đã cho ($k^{2} +pk+q=0$).

Giải phương trình đặc trưng để đưa ra dạng nghiệm tổng quát chính xác cho bài toán trên.

• Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm thực khác nhau ($k_{1} \ne k_{2} $) thì nghiệm tổng quát của phương trình $y^{''}+py'+qy=0$ là $y=C_{1} e^{k_{1} x} +C_{2} e^{k_{2} x} ;C_{1} ,C_{2} \text{-const}$.
• Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm thực trùng nhau ( $k_{1} =k_{2}$) thì nghiệm tổng quát của phương trình $y^{''}+py'+qy=0$ là $y=e^{k_{1} x} (C_{1} +C_{2} x);C_{1} ,C_{2}\text{-const}$.
• Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm phức liên hợp ($k_{1} =\alpha +i\beta ;\,k_{2} =\alpha -i\beta $) thì nghiệm tổng quát của phương trình $y^{''}+py'+qy=0$ là $y=e^{\alpha x} (C_{1} \cos \beta x+C_{2} \sin \beta x);C_{1} ,C_{2} \text{-const}t$.

HD: nhận xét $y^{''}=e^{x}$ là phương trình khuyết $y$ và $y'$.

Lấy tích phân bất định 2 lần liên tiếp ta sẽ có câu trả lời cho câu hỏi trên.

Hoặc, có thể đổi biến: $t:=y'$ để đưa về phương trình vi phân (cấp 1) có biến phân ly $t'=e^{x}$.

Sau đó giải phương trình có biến phân ly để có $t$ ($t=\varphi (x,C_{1} )$).

Thay $t$ bởi $y'$ ta có $y'=\varphi (x,C_{1})\Rightarrow dy=\varphi (x,C_{1} )dx$, xuất hiện phương trình có biến phân ly nên tiếp tục lấy tích phân bất định 2 vế ta sẽ có kết quả cần tìm.

HD: nhận xét $y^{''}=12x^{2} $ là phương trình khuyết $y$ và $y'$.

Trước hết, ta tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y^{''}=12x^{2}$.

Lấy tích phân bất định 2 lần liên tiếp ta sẽ có nghiệm tổng quát.

Hoặc, có thể đổi biến: $t:=y'$ để đưa về phương trình vi phân (cấp 1) có biến phân ly $t'=e^{x}$.

Sau đó giải phương trình có biến phân ly để có $t$ ($t=\varphi (x,C_{1})$).

Thay $t$ bởi $y'$ ta có $y'=\varphi (x,C_{1} )\Rightarrow dy=\varphi (x,C_{1} )dx$, xuất hiện phương trình có biến phân ly nên tiếp tục lấy tích phân bất định 2 vế ta sẽ có nghiệm tổng quát.

Tiếp theo, thay điều kiện đầu vào nghiệm tổng quát và đạo hàm của nghiệm tổng quát (có sau khi ta lấy tích phân bất định lần thứ nhất (đối với cách 1) và $y'=\varphi (x,C_{1} )$ (đối với cách 2) để tìm các giá trị cụ thể của $C_{1} ,C_{2}$.

Cuối cùng, thay các giá trị vừa tìm được của $C_{1} ,C_{2} $ vào nghiệm tổng quát ta sẽ có nghiệm (riêng) cần tìm.

Giải phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng $y^{''}+py'+qy=0$.

Tiếp theo, tìm một nghiệm riêng của phương trình đã cho: xác định dạng của vế phải ($f(x)=e^{\alpha x} P_{n} (x)$ ), từ đó xác định giá trị của $\alpha $.

• Nếu $\alpha $ không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng cần tìm có dạng $Y=e^{\alpha x} Q_{n} (x)$.
• Nếu $\alpha $ là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng cần tìm có dạng $Y=xe^{\alpha x} Q_{n} (x)$.
• Nếu  là nghiệm bội của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng cần tìm có dạng $Y=x^{2} e^{\alpha x} Q_{n} (x)$.

Chú ý: $Q_{n} (x)$ được xác định bằng phương pháp hệ số bất định.

Có $Q_{n} (x)$ thay vào dạng của nghiệm riêng đã xác định (ở trên) sẽ có nghiệm riêng cần tìm.

Cuối cùng, đưa ra đáp án cho nghiệm tổng quát của phương trình đã cho (bằng nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng cộng với 1 nghiệm riêng vừa tìm được ở trên).

Cách 1: Xác định nghiệm đã cho là nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất $y^{''}+py'+qy=0$ trong trường hợp phương trình đặc trưng có 2 nghiệm phức liên hợp ($k_{1} =0+2i;k_{2} =0-2i$), từ đó đưa ra phương trình đặc trưng (phương trình $k^{2} +pk+q=0$ có 2 nghiệm $k_{1} =2i;\,k_{2} =-2i$ nghĩa là $(k-2i)(k+2i)=0$), căn cứ vào phương trình đặc trưng để xác định phương án trả lời chính xác.

Cách 2: Lần lượt tìm nghiệm tổng quát của các phương trình trong các phương án đã cho, nghiệm tổng quát cảu phương trình nào trùng với nghiệm cho trong đề bài thì phương trình đó là đáp án.