Định nghĩa
Chuỗi số
Chuỗi số
Cho hai chuỗi số dương Khi đó:
|
|
Ví dụ 11. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số
Hướng dẫn. Nhận xét:
Mặt khác chuỗi điều hòa
Ví dụ 12. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số
Hướng dẫn. Nhận xét
Mặt khác chuỗi
Cho hai chuỗi số dương
Khi đó:
Ví dụ 13. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số
Hướng dẫn. Xem chuỗi đã cho là chuỗi
Nhận xét.
Mặt khác, chuỗi điều hòa
Ví dụ 14. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số Hướng dẫn. Xem chuỗi đã cho là chuỗi Nhận xét. Mặt khác, chuỗi |
|
Định lý. Cho chuỗi số dương
Chú ý. Khi
Ví dụ 15. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số Hướng dẫn. Ta có: |
|
Ví dụ 16. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số
Hướng dẫn. Ta có:
Ví dụ 17. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số
Hướng dẫn. Ta có:
Ví dụ 18. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số
Hướng dẫn. Ta có:
Định lý. Cho chuỗi số dương
Chú ý. Khi
Ví dụ 19. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số
Hướng dẫn. Ta có:
Vậy, chuỗi số
Ví dụ 20. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số
Hướng dẫn. Ta có:
Ví dụ 21. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số
Hướng dẫn. Ta có:
Ta có thể áp dụng định lý điều kiện ắt có của chuỗi số hội tụ để xét tính chất của chuỗi số trên:
Định lý. Cho chuỗi số dương
Khi đó:
Ví dụ 22. Xét tính hội tụ, phân kỳ của chuỗi Riemann
Chú ý. Đây là chuỗi số dương, dễ thấy 2 tiêu chuẩn Cauchy và D’Alembert đều không cho kết luận được, nhưng tiêu chuẩn tích phân có thể cho ta kết luận một cách nhanh chóng.
Hướng dẫn. Chọn
Dễ thấy,
Bằng cách xét
Vậy, chuỗi
Chẳng hạn. Chuỗi
Chuỗi
Chuỗi điều hòa