Chuỗi số $\sum _{n=1}^{+\infty }u_{n} $ được gọi là chuỗi số dương nếu  $u_{n} >0,{\rm \; }\forall n$ .

1. Nếu tổng riêng của chuỗi số dương bị chặn trên thì chuỗi số đó hội tụ (Vì $\left\{S_{n} \right\}$ là dãy số tăng, bị chặn trên thì luôn $\exists {\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} S_{n} $ nên chuỗi số hội tụ, còn nếu $\left\{S_{n} \right\}$ là dãy số tăng, không bị chặn trên thì $S_{n} \to \infty $ khi $n\to \infty $ nên chuỗi số phân kỳ).
2. Để xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số dương, ngoài những cách đã trình bày ở trên (dùng định nghĩa xét ${\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} S_{n} $ , dùng định lý điều kiện cần của chuỗi hội tụ xét ${\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} u_{n} $ và xét $\left\{S_{n} \right\}$ bị chặn trên), ta còn có thêm 5 cách (2 định lý so sánh và 3 tiêu chuẩn hội tụ) sẽ lần lượt được trình bày phần dưới đây.

Ví dụ 11. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số $\sum_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{\sqrt{n} }$.

Hướng dẫn. Nhận xét: $\dfrac{1}{\sqrt{n} } \ge \dfrac{1}{n} ,{\rm \; \; \; }\forall n\ge 1$

Mặt khác chuỗi điều hòa $\sum_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{n} $ phân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ.

Ví dụ 12. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số $\sum_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{\sqrt{n} 5^{n}}$.

Hướng dẫn. Nhận xét  $\dfrac{1}{\sqrt{n} 5^{n} } \le \dfrac{1}{5^{n} } ,{\rm \; \; }\forall n\ge 1$

Mặt khác chuỗi $\sum _{n=1}^{\infty }\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n} $ hội tụ ($|q|=\dfrac{1}{5} <1$) nên chuỗi đã cho hội tụ.

Cho hai chuỗi số dương $\sum_{n=1}^{+\infty}u_{n}$ và $\sum_{n=1}^{+\infty }v_{n}$. Giả sử tồn tại ${\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }}\dfrac{u_{n} }{v_{n}} =k$

Khi đó:

1. Nếu $k\in (0,+\infty )$ thì 2 chuỗi số đã cho có cùng tính chất (đồng thời hội tụ hoặc đồng thời phân kỳ).
2. Nếu $k=0$ và chuỗi $\sum _{n=1}^{+\infty }v_{n} $  hội tụ thì chuỗi $\sum _{n=1}^{+\infty }u_{n} $ cũng hội tụ.
3. Nếu $k=+\infty $ và chuỗi $\sum _{n=1}^{+\infty }v_{n} $ phân kỳ thì chuỗi $\sum _{n=1}^{+\infty }u_{n} $ cũng phân kỳ.

Ví dụ 13. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số $\sum_{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\dfrac{5}{n+3} $.

Hướng dẫn. Xem chuỗi đã cho là chuỗi $\sum _{n=1}^{+\infty }u_{n} $, xét chuỗi  $\sum _{n=1}^{+\infty }v_{n} $ là chuỗi điều hòa.

Nhận xét.  ${\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \left(\dfrac{5}{n+3}:\dfrac{1}{n} \right)={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{5n}{n+3} =5\in (0,+\infty )$

Mặt khác, chuỗi điều hòa $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n} $ phân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ.

Định lý. Cho chuỗi số dương $\sum_{n=1}^{+\infty }u_{n}$, giả sử  ${\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{u_{n+1} }{u_{n}}=D$ thì chuỗi đã cho hội tụ khi $D<1$ và phân kỳ khi $D>1$.

Chú ý. Khi $D=1$ chuỗi đã cho có thể hội tụ, có thể phân kỳ.

Ví dụ 16. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số $\sum_{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\dfrac{1}{\sqrt{n} 5^{n} } $.

Hướng dẫn. Ta có: $u_{n} =\dfrac{1}{\sqrt{n} .5^{n} } \Rightarrow u_{n+1} =\dfrac{1}{\sqrt{n+1} .5^{n+1} } $ $$\Rightarrow {\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{u_{n+1} }{u_{n} } ={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{1}{\sqrt{n+1} .5^{n+1} } :\dfrac{1}{\sqrt{n} .5^{n} }={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{\sqrt{n} }{5\sqrt{n+1} } =\dfrac{1}{5} <1$$ Vậy chuỗi số $\sum _{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\dfrac{1}{\sqrt{n} 5^{n} }$ hội tụ.

Ví dụ 17.  Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số $\sum_{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\dfrac{5^{n} }{n+3} $.

Hướng dẫn. Ta có: $u_{n} =\dfrac{5^{n} }{n+3} \Rightarrow u_{n+1} =\dfrac{5^{n+1} }{n+4} $ $$\Rightarrow {\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{u_{n+1} }{u_{n} } ={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{5^{n+1} }{n+4}:\dfrac{5^{n} }{n+3} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }}\dfrac{5(n+3)}{n+4} =5>1$$ Vậy chuỗi số $\sum_{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\dfrac{5^{n} }{n+3} $ phân kỳ.

Ví dụ 18. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số $\sum_{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\dfrac{1}{n^{2}}$.

Hướng dẫn. Ta có: $$u_{n} =\frac{1}{n^{2} } \Rightarrow u_{n+1} =\frac{1}{(n+1)^{2} }$$$$\Rightarrow {\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{u_{n+1} }{u_{n} } ={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{1}{(n+1)^{2} }:\dfrac{1}{n^{2} } ={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{2} =1$$ Vậy, áp dụng tiêu chuẩn D’Alembert chưa kết luận được bài toán.

Định lý. Cho chuỗi số dương $\sum_{n=1}^{+\infty }u_{n} $, giả sử ${\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \sqrt[{n}]{u_{n} } =C$ thì chuỗi đã cho hội tụ khi $C<1$ và phân kỳ khi $C>1$.

Chú ý. Khi $C=1$ chuỗi đã cho có thể hội tụ, có thể phân kỳ.

Ví dụ 19. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số $\sum _{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\left(\dfrac{5n}{n+1} \right)^{n} $.

Hướng dẫn. Ta có: $u_{n} =\left(\dfrac{5n}{n+1} \right)^{n} \Rightarrow {\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \sqrt[{n}]{u_{n} } ={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{5n}{n+1} =5>1$

Vậy, chuỗi số $\sum _{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\left(\dfrac{5n}{n+1} \right)^{n} $ phân kỳ.

Ví dụ 20. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số $\sum _{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{[\ln (n+1)]^{n} } $.

Hướng dẫn. Ta có:   $u_{n} =\dfrac{1}{[\ln (n+1)]^{n} } $. $$\Rightarrow {\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \sqrt[{n}]{u_{n} } ={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{1}{\ln (n+1)} =0<1$$ Vậy, chuỗi số $\sum _{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{[\ln (n+1)]^{n} } $ hội tụ.

Ví dụ 21. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số $\sum _{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\left(\dfrac{n}{n+1} \right)^{n} $.

Hướng dẫn.  Ta có:  $u_{n} =\left(\dfrac{n}{n+1} \right)^{n} $ $$\Rightarrow {\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \sqrt[{n}]{u_{n} } ={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{n}{n+1} =1$$ Vậy, áp dụng tiêu chuẩn Cauchy chưa kết luận được bài toán.

Ta có thể áp dụng định lý điều kiện ắt có của chuỗi số hội tụ để xét tính chất của chuỗi số trên: $${\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} u_{n} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \left(\dfrac{n}{n+1} \right)^{n} =\dfrac{1}{{\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \left(\dfrac{n+1}{n} \right)^{n} }=\dfrac{1}{{\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \left(1+\dfrac{1}{n} \right)^{n} }=\dfrac{1}{e} \ne 0.$$ Vậy chuỗi số đã cho phân kỳ.

Định lý. Cho chuỗi số dương $\sum _{n=1}^{+\infty }u_{n} $ mà các số hạng $u_{n} $ của nó là trị của một hàm liên tục $f(x)$ tại các trị nguyên của $x$ và $f(x)$ đơn điệu giảm trên khoảng $(1,+\infty )$.

Khi đó:

1. Nếu tích phân suy rộng $\int\limits_{1}^{+\infty }f(x)dx $ hội tụ thì chuỗi số $\sum _{n=1}^{+\infty }u_{n} $ cũng hội tụ.
2. Nếu tích phân suy rộng $\int\limits_{1}^{+\infty }f(x)dx$ phân kỳ thì chuối số $\sum _{n=1}^{+\infty }u_{n} $ cũng phân kỳ.

Ví dụ 22. Xét tính hội tụ, phân kỳ của chuỗi Riemann $\sum _{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{n^{\alpha } } {\rm \; \; } (\alpha \in \mathbb{R})$.

Chú ý. Đây là chuỗi số dương, dễ thấy 2 tiêu chuẩn Cauchy và D’Alembert đều không cho kết luận được, nhưng tiêu chuẩn tích phân có thể cho ta kết luận một cách nhanh chóng.

Hướng dẫn. Chọn  $f(x)=\dfrac{1}{x^{\alpha } } $ 

Dễ thấy, $f(x)$ thỏa các điều kiện của tiêu chuẩn tích phân

Bằng cách xét ${\mathop{\lim }\limits_{b\to +\infty }} \int\limits_{1}^{b}\dfrac{1}{x^{\alpha } } dx $  ta dễ dàng có kết quả về tính chất của tích phân suy rộng $\int\limits_{1}^{+\infty }\dfrac{1}{x^{\alpha } } dx $:  hội tụ khi $\alpha >1$ và phân kỳ khi $\alpha \le 1$.

Vậy, chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{n^{\alpha } } $  hội tụ khi $\alpha >1$  và phân kỳ khi $\alpha \le 1$.

Chẳng hạn. Chuỗi $\sum\limits_{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\dfrac{1}{n^{2} } $ hội tụ (là chuỗi Riemann có $\alpha =2>1$).

Chuỗi $\sum\limits_{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\dfrac{1}{\sqrt[{3}]{n} } $ phân kỳ (là chuỗi Riemann có $\alpha =\dfrac{1}{3} <1$).

Chuỗi điều hòa $\sum\limits_{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\dfrac{1}{n} $ phân kỳ (là chuỗi Riemann có $\alpha =1$).