Hàm số $z=f(x,y)=f(M)$ xác định trên $D$ được gọi là liên tục tại $M_{0} (x_{0} ,y_{0} )\in D$ nếu: $\exists {\mathop{\lim }\limits_{(x,y)\to (x_{0} ,y_{0} )}} f(x,y)=f(x_{0} ,y_{0} )$.

$$\Delta x:=x-x_{0};\quad \Delta y:=y-y_{0};\quad \Delta z:=f(x_{0} +\Delta x,y_{0} +\Delta y)-f(x_{0} ,y_{0} )$$ Hàm $z=f(x,y)$ được gọi là liên tục tại $M_{0} (x_{0} ,y_{0} )$ nếu nó xác định tại đó và ${\mathop{\lim }\limits_{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}} \Delta z=0$.

2) Hàm $z=f(x,y)$ được gọi là liên tục trên $D$ nếu nó liên tục tại mọi điểm $M\in D$.

3) Hàm $z=f(x,y)$ được gọi là gián đoạn tại $M_{0} (x_{0} ,y_{0} )$ nếu nó không liên tục tại $M_{0} (x_{0} ,y_{0} )$. Như vậy, hàm $z=f(x,y)$ gián đoạn tại $M_{0} (x_{0} ,y_{0} )$ nếu xảy ra 1 trong 3 trường hợp:

• Hàm $z=f(x,y)$ không xác định tại $M_{0} (x_{0} ,y_{0} )$.
• Hàm $z=f(x,y)$ xác định tại $M_{0} (x_{0} ,y_{0} )$ nhưng không tồn tại giới hạn của $f(x,y)$ khi $M(x,y)\to M_{0} (x_{0} ,y_{0} )$.
• Hàm $z=f(x,y)$ xác định tại $M_{0} (x_{0} ,y_{0} )$, tồn tại giới hạn của $f(x,y)$ khi $M(x,y)\to M_{0} (x_{0} ,y_{0} )$ nhưng ${\mathop{\lim }\limits_{(x,y)\to (x_{0} ,y_{0} )}} f(x,y)\ne f(x_{0} ,y_{0} )$.

Hàm số $f(x,y)=\dfrac{1}{x^{2} +y^{2} }$ gián đoạn tại $(0,0)$ (vì $f(x,y)$ không xác định tại $(0,0)$).

 Hàm số  $f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^{2} -5y^{2}}{3x^{2} +y^{2}} ;&(x,y)\ne (0,0)\\0;&(x,y)=(0,0)\end{cases}$ gián đoạn tại $(0,0)$. (vì theo kết quả của Ví dụ 2 thì không tồn tại ${\mathop{\lim }\limits_{(x,y)\to (0,0)}} f(x,y)$)

Xét tính liên tục của $f(x,y)=\left\{\begin{array}{ccc} {(x^{2} +y^{2} )\sin \dfrac{1}{x^{2} +y^{2} } } & \text{khi} & {(x,y)\ne (0,0)} \\ {a} & \text{khi} & {(x,y)=(0,0)} \end{array}\right. $