Tham khảo các định nghĩa: giới hạn và tính liên tục của hàm 2 biến.

Tìm giới hạn của hàm số đã cho khi $(x,y)\to (0,0)$. (Chứng minh: hàm số đã cho dần tới 2 giới hạn khác nhau theo 2 phương khác nhau (chẳng hạn dọc theo trục $Oy$ và trục $Ox$)). Từ đó chọn phương án trả lời chính xác.

Tham khảo định nghĩa giới hạn của hàm 2 biến.

Tìm giới hạn của hàm số đã cho khi $(x,y)\to (0,0)$ (Chứng minh: hàm số đã cho dần tới 2 giới hạn khác nhau theo 2 phương khác nhau (chẳng hạn dọc theo trục $Oy$ và trục $Ox$)).

Từ đó chọn phương án trả lời chính xác.

Tham khảo định nghĩa giới hạn của hàm 2 biến.

Tìm giới hạn của hàm số đã cho khi $(x,y)\to (0,0)$. (Chứng minh: hàm số đã cho dần tới 2 giới hạn khác nhau theo 2 phương khác nhau (chẳng hạn dọc theo đường thằng $x=y$  và dọc theo đường parabol $y=x^{2}$)).

Từ đó chọn phương án trả lời chính xác.

Áp dụng nhận xét: Nếu hàm $f(x,y)$  xác định tại $\left(x_{0} ,y_{0} \right)$  thì  ${\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to x_{0} } \\ {y\to y_{0} } \end{array}}} f(x,y)=f(x_{0} ,y_{0} )$

Từ đó chọn phương án trả lời chính xác.

Áp dụng nhận xét: Nếu hàm $f(x,y)$ xác định tại $\left(x_{0},y_{0}\right)$ thì ${\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to x_{0} } \\ {y\to y_{0} } \end{array}}} f(x,y)=f(x_{0} ,y_{0} )$

Từ đó chọn phương án trả lời chính xác.

Trước hết ta khử dạng vô định (phân tích $x^{3} -y^{3} =(x-y)(x^{2} +xy+y^{2} )$)

Sau đó, áp dụng nhận xét: Nếu hàm $f(x,y)$ xác định tại $\left(x_{0} ,y_{0} \right)$  thì ${\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to x_{0} } \\ {y\to y_{0} } \end{array}}} f(x,y)=f(x_{0} ,y_{0} )$

Từ đó chọn phương án trả lời chính xác.

Dễ thấy $f(x,y)$ liên tục tại mọi $(x,y)\ne (0,0)$.

Sau đó, áp dụng quy tắc tìm giới hạn (nguyên lý kẹp: $\forall (x,y)\ne (0,0)$ ta có $0\le |f(x,y)|\le \dfrac{|x|^{3} +|y|^{3} }{x^{2} +y^{2} } \le |x|+|y|$) để tìm giới hạn của $f(x,y)$ khi $(x,y)\to (0,0)$. Từ đó dựa vào định nghĩa tính liên tục của hàm 2 biến để xét tính liên tục của $f(x,y)$ tại $(0,0)$ và kết luận bài toán.

Dễ thấy $f(x,y)$ liên tục tại mọi $(x,y)\ne (0,0)$.

Sau đó, áp dụng quy tắc tìm giới hạn (nguyên lý kẹp: $\forall (x,y)\ne (0,0)$ ta có $0\le |f(x,y)|\le \dfrac{|x+y|(x^{2} +y^{2} +|xy|)}{x^{2} +y^{2} } \le \dfrac{3}{2} |x+y|$ ta có) để tìm giới hạn của $f(x,y)$ khi $(x,y)\to (0,0)$. Từ đó dựa vào định nghĩa tính liên tục của hàm 2 biến để xét tính liên tục của $f(x,y)$ tại $(0,0)$ và kết luận bài toán.

Tham khảo các định nghĩa: giới hạn và tính liên tục của hàm 2 biến. Dễ thấy $f(x,y)$ liên tục tại mọi $(x,y)\ne (0,0)$.

Tìm giới hạn của hàm số đã cho khi (Chứng minh: hàm số đã cho dần tới 2 giới hạn khác nhau theo 2 phương khác nhau (chẳng hạn dọc theo trục $Oy$ và trục $Ox$)).

Từ đó chọn phương án trả lời chính xác.

Áp dụng nhận xét: Nếu hàm $f(x,y)$ xác định tại $\left(x_{0} ,y_{0} \right)$ thì ${\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to x_{0} } \\ {y\to y_{0} } \end{array}}} f(x,y)=f(x_{0} ,y_{0} )$.

Từ đó chọn phương án trả lời chính xác.