Ta nói: Trong miền không gian $V$ có một trường vô hướng $u$ nếu tại mỗi điểm $M\in V$ có 1 giá trị xác định của đại lượng vô hướng $u$.

Như vậy: Cho 1 trường vô hướng $V$ trong miền là cho một hàm vô hướng $u$ xác định trong miền ấy.

Ví dụ 1. Sự phân bố nhiệt độ trong một vật thể tạo nên một trường vô hướng trong vật thể ấy.

Mặt mức

Cho trường vô hướng $u(x,y,z),(x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}.$ Tập các điểm $(x,y,z)\in \Omega \subset {{\mathbb{R}}^{3}}$ thỏa mãn phương trình $u(x,y,z)=C,C$ là hằng số, gọi là mặt mức của trường vô hướng ứng với giá trị $C.$

Rõ ràng các mặt mức khác nhau (các giái trị $C$ khác nhau) không giao nhau và miền $\Omega $bị phủ kín bởi các mặt mức. Nếu $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{2}}$thì ta có khái niệm đường mức (đường đẳng trị) cho bởi phương trình $u(x,y)=C$. 

Ví dụ 2. Mặt đẳng thế trong trường điện thế là mặt mức.

Chẳng hạn: một điện tích $q$ đặt ở gốc tọa độ gây nên một trường điện thế $u(x,y,z)=\dfrac{q}{\sqrt{x^{2} +y^{2} +z^{2} } }$.

Do đó phương trình của các mặt mức trong trường điện thế (còn gọi là mặt đẳng thế) là: $\dfrac{q}{\sqrt{x^{2} +y^{2} +z^{2} } } =C$ hay $x^{2} +y^{2} +z^{2} =\dfrac{q^{2} }{C^{2} } =R^{2} $. 

Vậy, mặt đẳng thế trong trường điện thế là những mặt cầu đồng tâm (tâm $O(0,0,0)$ và bán kính $R=\dfrac{q}{C}$).

Định nghĩa. Cho trường vô hướng $u=u(M)=u(x,y,z){\rm \;}(M\in V)$ và điểm $M_{0} (x_{0} ,y_{0} ,z_{0} )\in V$.

Qua $M_{0} $ vẽ một đường thẳng định hướng $\vec{l}$ mà các cosin chỉ hướng của nó là $\cos \alpha ,\cos \beta,\cos \gamma$.

Giả sử: $M(x_{0} +\Delta x,y_{0} +\Delta y,z_{0} +\Delta z)\in V$ là một điểm nằm trên đường thẳng định hướng trên.

Đặt $\rho =\overline{M_{0} M}$ ta có: $$\rho =\begin{cases}\sqrt{(\Delta x)^{2} +(\Delta y)^{2} +(\Delta z)^{2} } &\text{ nếu }\vec{l}\text{ và }\overrightarrow{M_{0} M} \text{ cùng hướng},\\-\sqrt{(\Delta x)^{2} +(\Delta y)^{2} +(\Delta z)^{2} } &\text{ nếu }\vec{l}\text{ và }\overrightarrow{M_{0} M} \text{ ngược hướng.}\end{cases}$$

Nếu khi $\rho \to 0$ ( dần tới $M_{0} $ theo hướng $\vec{l}$) mà: $\dfrac{\Delta u}{\rho }=\dfrac{u(M)-u(M_{0} )}{\rho }$ dần tới một giới hạn hữu hạn thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm $u$ theo hướng $\vec{l}$ tại điểm $M_{0}$, kí hiệu: $\dfrac{\partial u}{\partial \vec{l}}$.

Vậy, $\dfrac{\partial u}{\partial \vec{l}} ={\mathop{\lim}\limits_{\rho \to 0}} \dfrac{u(x_{0} +\Delta x,y_{0} +\Delta y,z_{0} +\Delta z)-u(x_{0} ,y_{0} ,z_{0} )}{\rho }$.

Chú ý.

1. $\dfrac{\partial u}{\partial \vec{l}}$ không những phụ thuộc vào điểm $M_{0} $ mà còn phụ thuộc vào hướng của $\vec{l}$.
2. Nếu $\vec{l}$ trùng với hướng dương của trục $Ox$, thay vào công thức trên ta có kết quả: $\dfrac{\partial u}{\partial \vec{l}} ={\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0}} \dfrac{u(x_{0} +\Delta x,y_{0} ,z_{0} )-u(x_{0} ,y_{0} ,z_{0} )}{\Delta x}$. Vậy, $\dfrac{\partial u}{\partial x} $ chính là đạo hàm của hàm $u$ theo hướng của trục $Ox$. Tương tự, $\dfrac{\partial u}{\partial y}$ chính là đạo hàm của hàm $u$ theo hướng của trục $Oy$ và $\dfrac{\partial u}{\partial z}$ chính là đạo hàm của hàm $u$ theo hướng của trục $Oz$.
3. $\dfrac{\partial u}{\partial \vec{l}}$ biểu thị vận tốc biến thiên của hàm $u$ theo hướng $\vec{l}$.

Định lí

Nếu hàm $u=u(x,y,z)$ khả vi tại $M(x,y,z)$ thì tại điểm đó nó có đạo hàm theo hướng $\vec{l}$ bất kỳ, và $$\dfrac{\partial u}{\partial \vec{l}}=\dfrac{\partial u}{\partial x} \cos \alpha +\dfrac{\partial u}{\partial y} \cos \beta +\dfrac{\partial u}{\partial z} \cos \gamma $$ trong đó $\cos \alpha, \cos \beta , \cos \gamma$ là các cosin chỉ hướng của $\vec{l}$.

Công thức đạo hàm của $u$ theo hướng $\vec{l}$ tại điểm $M_{0}$: $$\dfrac{\partial u}{\partial \vec{l}} (M_{0} )=\dfrac{\partial u}{\partial x} (M_{0} )\cos \alpha +\dfrac{\partial u}{\partial y} (M_{0} )\cos \beta +\dfrac{\partial u}{\partial z} (M_{0} )\cos \gamma .$$

Ví dụ 3. Cho trường vô hướng $u=xy+z^{3} $. Tính đạo hàm của $u$ theo hướng $\overrightarrow{{\rm M}_{0} {\rm M}}$ tại $M_{0} (0,1,-1)$ biết $M(2,-1,-2)$.

Trước tiên các em hãy tính các đạo hàm riêng của $u$ tại $M_{0} $, sau đó tìm các cosin chỉ hướng của $\vec{l}$  (cosin chỉ hướng của $\overrightarrow{M_{0} M}$) rồi thay vào công thức: $$\dfrac{\partial u}{\partial \vec{l}} (M_{0} )=\dfrac{\partial u}{\partial x} (M_{0} )\cos \alpha +\dfrac{\partial u}{\partial y} (M_{0} )\cos \beta +\dfrac{\partial u}{\partial z} (M_{0} )\cos \gamma.$$ Ta có: \begin{align}&\dfrac{\partial u}{\partial x}=y\Rightarrow \frac{\partial u}{\partial x} (M_{0} )=1,\\&\dfrac{\partial u}{\partial y}=x\Rightarrow \dfrac{\partial u}{\partial y} (M_{0} )=0,\\&\dfrac{\partial u}{\partial z}=3z^{2} \Rightarrow \dfrac{\partial u}{\partial z} (M_{0} )=3.\end{align}

Hơn nữa $\overrightarrow{M_{0} M}(2,-2,-1)\Rightarrow \left|\overrightarrow{M_{o} M}\right|=\sqrt{4+4+1} =3$ và các cosin chỉ hướng của $\overrightarrow{M_{0} M}$ là $$\cos \alpha =\dfrac{2}{3} ,{\rm \; }\cos \beta =-\dfrac{2}{3} ,{\rm \; }\cos \gamma =-\dfrac{1}{3}.$$ Với $\vec{l}$ là hướng của vector $\overrightarrow{M_{0} M}$, ta có: $$\dfrac{\partial u}{\partial \vec{l}} (M_{0} )=\dfrac{\partial u}{\partial x} (M_{0} )\cos \alpha +\dfrac{\partial u}{\partial y} (M_{0} )\cos \beta +\dfrac{\partial u}{\partial z} (M_{0} )\cos \gamma =\dfrac{2}{3} -3\cdot \dfrac{1}{3} =-\dfrac{1}{3}.$$

Hướng dẫn. 

Cho trường vô hướng $u(x,y,z)$. Građien của trường $u$ tại điểm $M(x,y,z)$ là vector có tọa độ $\left\{\dfrac{\partial u}{\partial x} ,\dfrac{\partial u}{\partial y} ,\dfrac{\partial u}{\partial z} \right\}$. Kí hiệu vector ấy là $\overrightarrow{grad}u$.

Nếu gọi $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ lần lượt là các vector đơn vị của các trục $Ox,Oy,Oz$ thì $$\overrightarrow{grad}u=\dfrac{\partial u}{\partial x} \vec{i}+\dfrac{\partial u}{\partial y} \vec{j}+\dfrac{\partial u}{\partial z} \vec{k}.$$

Građien của trường $u$ tại điểm $M_{0}$: $$\overrightarrow{grad}u(M_{0} )=\dfrac{\partial u}{\partial x} (M_{0} )\vec{i}+\dfrac{\partial u}{\partial y} (M_{0} )\vec{j}+\dfrac{\partial u}{\partial z} (M_{0} )\vec{k}.$$

Ví dụ 4.  Cho trường vô hướng $u=xy+z^{3} $. Tìm $\overrightarrow{grad}u$.

Hướng dẫn.

Trước tiên các em hãy tìm các đạo hàm riêng của $u$, rồi thay vào công thức: $\overrightarrow{grad}u=\dfrac{\partial u}{\partial x} \vec{i}+\dfrac{\partial u}{\partial y} \vec{j}+\dfrac{\partial u}{\partial z} \vec{k}$.

Theo Ví dụ 3 $\dfrac{\partial u}{\partial x} =y;{\rm \; }\dfrac{\partial u}{\partial y} =x;{\rm \; }\dfrac{\partial u}{\partial z} =3z^{2} $.

Vậy,  $\overrightarrow{grad}u=\dfrac{\partial u}{\partial x} \vec{i}+\dfrac{\partial u}{\partial y} \vec{j}+\dfrac{\partial u}{\partial z} \vec{k}=y\vec{i}+x\vec{j}+3z^{2} \vec{k}$.

Định lí 1. 

 Cho trường vô hướng $u(x,y,z)$ và hướng của $\vec{l}$. Khi đó ta có: $\dfrac{\partial u}{\partial \vec{l}} = \overrightarrow{grad}u\cdot \vec{l}$.

Như vậy, $\left|\dfrac{\partial u}{\partial \vec{l}} \right|_{\max } =\left|\overrightarrow{grad}u\right|$ khi $\vec{l}$ đồng phương với $\overrightarrow{grad}u$ (khi građien tại một điểm trong trường vô hướng $u$ cho ta biết phương mà dọc theo phương ấy vận tốc biến thiên của trường có trị tuyệt đối cực đại).

Định lí 2. 

Cho trường vô hướng $u(x,y,z)$. Građien của trường $u$ tại mỗi điểm $M_{0} (x_{0} ,y_{0} ,z_{0} )$ luôn đồng phương với pháp tuyến của mặt mức của trường đi qua điểm ấy.

Các tính chất của Gradient

Tính chất 1. $\overrightarrow{grad}(u\pm v)=\overrightarrow{grad}u\pm \overrightarrow{grad}v$.

Tính chất 2. $\overrightarrow{grad}(cu)=c\overrightarrow{grad}u$, ($c$-const).

Tính chất 3. $\overrightarrow{grad}(uv)=u.\overrightarrow{grad}v+v.\overrightarrow{grad}u$

Tính chất 4. $\overrightarrow{grad}f(u)=f'(u).\overrightarrow{grad}u$.