Xét hàm $z=f(x,y)$. Khi đó $z'_{x} ;{\rm \; }z'_{y} $ hay $\frac{\partial f}{\partial x} ;\frac{\partial f}{\partial y} $ được gọi là các đạo hàm riêng cấp 1 của $z$.

• Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp 1 (nếu tồn tại) được gọi là các đạo hàm riêng cấp 2. Có 4 đạo hàm riêng cấp 2: \begin{align}&\dfrac{\partial }{\partial x} \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)=\dfrac{\partial ^{2} f}{\partial x^{2} } \text{ hay } z^{''}_{xx} =(z'_{x} )'_{x}; \quad\dfrac{\partial }{\partial y} \left(\dfrac{\partial f}{\partial x} \right)=\dfrac{\partial ^{2} f}{\partial y\partial x} \text{ hay } z^{''}_{xy} =(z'_{x} )'_{y}\\&\dfrac{\partial }{\partial x} \left(\dfrac{\partial f}{\partial y} \right)=\dfrac{\partial ^{2} f}{\partial x\partial y} \text{ hay } z^{"}_{yx} =(z'_{y} )'_{x};\quad \dfrac{\partial }{\partial y} \left(\dfrac{\partial f}{\partial y} \right)=\dfrac{\partial ^{2} f}{\partial y^{2} }  \text{ hay } z^{"}_{yy} =(z'_{y} )'_{y}.\end{align}
• Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp 2 (nếu tồn tại) được gọi là các đạo hàm riêng cấp 3.
• Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp 3 (nếu tồn tại) được gọi là các đạo hàm riêng cấp 4...

 Chú ý.  Các đạo hàm riêng từ cấp 2 trở lên thì được gọi là các đạo hàm riêng cấp cao.

 Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số $z=e^{x+2y} +x^{2} $ và cho nhận xét về kết quả nhận được.

Nếu trong 1 lân cận nào đó của điểm $M_{0} (x_{0} ,y_{0} )$ hàm số $z=f(x,y)$ có các đạo hàm riêng cấp hai $z^{"}_{yx} {\rm ;\; }z^{"}_{xy} $ và các đạo hàm riêng ấy liên tục tại $M_{0} (x_{0} ,y_{0} )$  thì tại $M_{0} (x_{0} ,y_{0} )$ ta có $z^{"}_{yx} =z^{"}_{xy} $.

Xét hàm $z=f(x,y)$. Khi đó $dz=z'_{x} dx+z'_{y} dy$ được gọi là vi phân toàn phần cấp 1 của $z$.

• Vi phân toàn phần của vi phân toàn phần cấp 1 (nếu tồn tại) được gọi là vi phân toàn phần cấp 2, kí hiệu $d^{2} z$. Nếu $x,y$ là các biến độc lập thì: $$d^{2} z=d(dz)=z^{"}_{xx} dx^{2} +z^{"}_{xy} dxdy+z^{"}_{yx} dydx+z^{"}_{yy} dy^{2}.$$Nếu hàm $z=f(x,y)$ thỏa Định lý Schwarz thì $$d^{2} z=z^{"}_{xx} dx^{2} +2z^{"}_{xy} dxdy+z^{"}_{yy} dy^{2}.$$
• Vi phân toàn phần của vi phân toàn phần cấp 2 (nếu tồn tại) được gọi là vi phân toàn phần cấp 3, kí hiệu $d^{3} z$.
• Vi phân toàn phần của vi phân toàn phần cấp 3 (nếu tồn tại) được gọi là vi phân toàn phần cấp 4, kí hiệu $d^{4} z$.

Chú ý. Các vi phân toàn phần từ cấp 2 trở lên được gọi là vi phân toàn phần cấp cao.

Tìm vi phân toàn phần cấp 2 của hàm số $z=e^{x+2y} +x^{2} $.