|
Tọa độ cầu của một điểm $M(x,y,z)$ trong không gian $Oxyz$ là một bộ có thứ tự gồm 3 số $(r,\theta ,\varphi )$. Với $r=OM,\varphi =\left(Ox,\overrightarrow{OM'}\right)$, $\theta =\left(\overrightarrow{OM},Oz\right)$ thì $r\ge 0;\varphi \in {\rm [}0,2\pi );\theta \in {\rm [}0,\pi )$ trong đó điểm $M'(x,y)$ là hình chiếu vuông góc của $M(x,y,z)$ lên mặt phẳng tọa độ $Oxy$. |
|
Quan hệ giữa các tọa độ Đề Các $x,y,z$ và các tọa độ cầu $r,\theta ,\varphi $ của cùng một điểm $M$: $$\begin{cases} x=r\sin \theta \cos \varphi\\y=r\sin \theta \sin \varphi\\z=r\cos \theta\end{cases}.\label{9.3.2.1}\tag{**}$$
Nếu $r>0;{\rm \; }\varphi \in {\rm [}0,2\pi );{\rm \; }\theta \in (0,\pi )$ thì các công thức \eqref{9.3.2.1} xác định một song ánh giữa các tọa độ đề các và tọa độ cầu (riêng các điểm trên trục $Oz$ có $\theta =0$, $\varphi $ tùy ý và nếu $M\equiv O$ thì có $r=0;\theta =0$, $\varphi $ tùy ý).
Xem các công thức $\left\{\begin{array}{l} {x=r\sin \theta \cos \varphi } \\ {y=r\sin \theta \sin \varphi } \\ {z=r\cos \theta } \end{array}\right. $ như một phép đổi biến, ta có: $$|J|=\left|\dfrac{D(x,y,z)}{D(r,\theta ,\varphi )} \right|=r^{2} \sin \theta >0$$ trừ tại những điểm trên trục $Oz$. Ta có công thức $$\iiint\limits _{Q}f(x,y,z)dxdydz =\iiint\limits _{Q'}f(r\sin \theta \cos \varphi ,r\sin \theta \sin \varphi ,r\cos \theta )r^{2} \sin \theta drd\theta d\varphi \label{9.3.8}\tag{8}.$$
Tính tích phân $\iiint\limits _{Q}\sqrt{x^{2} +y^{2} +z^{2} } dxdydz $ với $Q$ được giới hạn bởi các mặt $x^{2} +y^{2} +z^{2} =1;{\rm \; }z\ge 0$.
| $Q$ là nửa hình cầu tâm $O(0,0,0)$ bán kính $R=1$ nằm phía trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ (ứng với $z\ge 0)$, nên việc tính toán sẽ đơn giản nếu chuyển sang tọa độ cầu và áp dụng công thức \eqref{9.3.8} với miền $Q':$ $$\iiint\limits _{Q}\sqrt{x^{2} +y^{2} +z^{2} } dxdydz =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi /2}\sin \theta {\rm \; }d\theta \int _{0}^{1}r.r^{2} dr =\dfrac{\pi }{2}.$$ |
|
Quay lại Ví dụ 2: tính tích phân $\iiint\limits _{Q}zdxdydz $ với miền $Q$ được giới hạn bởi các mặt $z=0;{\rm \; }z=\sqrt{R^{2} -x^{2} -y^{2}}$.
Ngoài cách tính như trình bày ở trên (áp dụng công thức (3) ta có thể chuyển sang tọa độ cầu và áp dụng công thức \eqref{9.3.9}: $$\iiint\limits _{Q}zdxdydz =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi /2}\sin \theta \cos \theta d\theta \int _{0}^{R}rr^{2} dr =\dfrac{\pi R^{4} }{4} .$$
