Định nghĩa. Xét hàm $z=f(x,y)$ xác định trên $D$ và điểm $M_{0} (x_{0} ,y_{0} )\in D$.

- Cho $x$ biến thiên và giữ $y=y_{0} $, ta được hàm một biến: $x\mapsto f(x,y_{0} )$, nếu hàm số này có đạo hàm tại $x=x_{0}$ thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng của $z$ đối với biến $x$ tại $(x_{0} ,y_{0} )$, kí hiệu $z'_{x} $ hay $f'_{x} (x_{0} ,y_{0} )$ hay $\dfrac{\partial z}{\partial x} $ hay $\dfrac{\partial f}{\partial x} (x_{0} ,y_{0} )$, là: $$\Delta _{x} z:=f(x_{0} +\Delta x,y_{0} )-f(x_{0} ,y_{0} ) \text{ thì } \dfrac{\partial z}{\partial x} ={\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0}} \dfrac{\Delta _{x} z}{\Delta x}.$$

- Tương tự, đạo hàm riêng của $z$ đối với biến $y$ tại $(x_{0} ,y_{0} )$, Kí hiệu $z'_{y} $ hay $f'_{y} (x_{0} ,y_{0} )$ hay $\dfrac{\partial z}{\partial y} $ hay $\dfrac{\partial f(x_{0} ,y_{0} )}{\partial y} $, là $$\Delta _{y} z:=f(x_{0} ,y_{0} +\Delta y)-f(x_{0} ,y_{0} )\text{ thì }\dfrac{\partial z}{\partial y} ={\mathop{\lim }\limits_{\Delta y\to 0}} \dfrac{\Delta _{y} z}{\Delta y}.$$

1) $\dfrac{\partial z}{\partial x} $ là 1 kí hiệu chứ không phải là 1 thương ($\mathrm{\neq}\dfrac{dy}{dx}$).

2) Với các hàm $n$ biến ($n\ge 3)$ ta cũng định nghĩa các đạo hàm riêng một cách tương tự. Khi tìm đạo hàm riêng của 1 hàm nhiều biến đối với 1 biến nào đó ta xem hàm đó chỉ phụ thuộc vào mỗi biến ấy còn các biến khác xem là các hằng số và áp dụng cách tìm đạo hàm của hàm một biến.

3) Ý nghĩa. $\dfrac{\partial u}{\partial x}$ biểu thị tốc độ biến thiên của $u$ đối với $x$ khi các biến khác không đổi.

Tìm các đạo hàm riêng của hàm số $z=x^{2} e^{y} +y^{3} $.

Tìm các đạo hàm riêng của hàm số $u=x^{2} y^{3} z^{4} +2022$.