Ta nói dãy điểm $\left\{M_{n} (x_{n} ,y_{n} )\right\}$ dần tới điểm $M_{0} (x_{0} ,y_{0} )$  nếu ${\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} x_{n} =x_{0} ,{\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} y_{n} =y_{0} $.

Giả sử hàm số $z=f(x,y)$ xác định trong một lân cận $V$ nào đó của điểm $M_{0} (x_{0} ,y_{0} )$ (không cần xác định tại $M_{0} $). Ta nói hàm $z=f(x,y)$ có giới hạn $L$  khi điểm $M(x,y)$ dần tới $M_{0} (x_{0} ,y_{0} )$ nếu: với mọi dãy điểm $\left\{M_{n} (x_{n} ,y_{n} )\right\}$ trong $V$ ($\ne M_{0} (x_{0} ,y_{0})$) dần tới điểm $M_{0} (x_{0} ,y_{0} )$ ta đều có: ${\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} f(M_{n} )=L$.

Khi đó ta viết: ${\mathop{\lim }\limits_{(x,y)\to (x_{0} ,y_{0} )}} f(x,y)=L$.

 1) Ta có thể phát biểu định nghĩa giới hạn của hàm 2 biến như sau:

 Hàm $f(x,y)=f(M)$ có giới hạn $L$ khi điểm $M(x,y)$ dần tới $M_{0} (x_{0} ,y_{0} )$ nếu: $\forall \varepsilon >0,{\rm \; }\exists \delta >0$ sao cho $0<M_{0} M<\delta$ thì $|f({\rm x},y)-L|<\varepsilon $. Khi đó ta viết: ${\mathop{\lim }\limits_{(x,y)\to (x_{0} ,y_{0} )}} f(x,y)=L$. 

2) Tương tự như hàm một biến, ta cũng có thể định nghĩa các giới hạn: $${\mathop{\lim }\limits_{(x,y)\to (\infty ,\infty )}} f(x,y)=L,\quad {\mathop{\lim }\limits_{(x,y)\to (\infty ,\infty )}} f(x,y)=\infty,\quad {\mathop{\lim }\limits_{(x,y)\to (x_{0} ,y_{0} )}} f(x,y)=\infty.$$

1. ${\mathop{\lim }\limits_{(x,y)\to (1,1)}} (x^{2} -2y)=-1,$
2. ${\mathop{\lim }\limits_{(x,y)\to (0,0)}} \dfrac{1}{x^{2} +2y^{2} } =\infty $,
3. ${\rm \; }{\mathop{\lim }\limits_{(x,y)\to (\infty ,\infty )}} \dfrac{1}{x^{2} +2y^{2} } =0$.

Tìm giới hạn của hàm số $f(x,y)=\dfrac{x^{2} -5y^{2} }{3x^{2} +y^{2} }$ tại $(0,0)$.