$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }n!x^{n}$ có $a_{n}=n!$, áp dụng công thức $\rho ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \dfrac{|a_{n+1} |}{|a_{n} |} $ để tìm $\rho $.

Sau đó, áp dụng quy tắc tìm bán kính hội tụ: $$R=\begin{cases}\dfrac{1}{\rho }&\text{với }\rho \in (0,+\infty )\\ 0&\text{với }\rho =+\infty\\+\infty&\text{với }\rho =0\end{cases}$$ để có kết quả

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\left(1+\dfrac{1}{n} \right)^{n} x^{n} $ có $a_{n} =\left(1+\dfrac{1}{n} \right)^{n} $, áp dụng công thức $\rho ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt[{n}]{|a_{n} |} $ để tìm $\rho $.

Cuối cùng, áp dụng quy tắc tìm bán kính hội tụ: $$R=\begin{cases}\dfrac{1}{\rho }&\text{với }\rho \in (0,+\infty )\\ 0&\text{với }\rho =+\infty\\+\infty&\text{với }\rho =0\end{cases}$$ để có kết quả

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{n!} x^{n} $ có $a_{n}=\dfrac{1}{n!}$, áp dụng công thức $\rho ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \dfrac{|a_{n+1} |}{|a_{n} |} $ để tìm $\rho $.

Tiếp theo, để tìm bán kính hội tụ $R$, ta áp dụng quy tắc tìm bán kính hội tụ: $$R=\begin{cases}\dfrac{1}{\rho }&\text{với }\rho \in (0,+\infty )\\ 0&\text{với }\rho =+\infty\\+\infty&\text{với }\rho =0\end{cases}.$$

Nếu bán kính hội tụ là 0 thì kết luận bài toán: Chuỗi đã cho chỉ hội tụ tại $x=0$.

Nếu bán kính hội tụ là $+\infty $ thì kết luận bài toán: MHT của chuỗi đã cho là $(-\infty ,+\infty )$.

Nếu bán kính hội tụ $R=\dfrac{1}{\rho } $ thì tìm khoảng hội tụ $\left(-\dfrac{1}{\rho },\dfrac{1}{\rho } \right)$, cuối cùng chỉ cần xét sự hội tụ tại 2 đầu mút $x=-\dfrac{1}{\rho }$ và $x=\dfrac{1}{\rho } $ để có kết quả cho bài toán.

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{n^{2022} } (x-1)^{n} $ có $a_{n} =\dfrac{1}{n^{2022} }$, áp dụng công thức $\rho ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \dfrac{|a_{n+1} |}{|a_{n} |} $ để tìm $\rho$.

Tiếp theo, áp dụng quy tắc tìm bán kính hội tụ: $$R=\begin{cases}\dfrac{1}{\rho }&\text{với }\rho \in (0,+\infty )\\ 0&\text{với }\rho =+\infty\\+\infty&\text{với }\rho =0\end{cases}$$ để có kết quả

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{\sqrt{n} } x^{n} $ có $a_{n} =\dfrac{1}{\sqrt{n} } $, áp dụng công thức $\rho ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \dfrac{|a_{n+1} |}{|a_{n} |} $ để tìm $\rho $.

Tiếp theo, để tìm bán kính hội tụ $R$, ta áp dụng quy tắc tìm bán kính hội tụ: $$R=\begin{cases}\dfrac{1}{\rho }&\text{với }\rho \in (0,+\infty )\\ 0&\text{với }\rho =+\infty\\+\infty&\text{với }\rho =0\end{cases}.$$

Bán kính hội tụ $R=\dfrac{1}{\rho}$ nên khoảng hội tụ của chuỗi đã cho là $\left(-\dfrac{1}{\rho },\dfrac{1}{\rho}\right)$.

Tìm các đạo hàm của $f(x)=x^{3} e^{x} $: $f'(x),f"(x),...,f^{(n)} (x)$

Tiếp theo, tìm $f(0),f'(0),f^{''}(0),...,f^{(n)} (0)$ và thay vào công thức $$f(x)=f(0)+\dfrac{f'(0)}{1!} x+\dfrac{f^{''}(0)}{2!} x^{2}+ \cdots +\dfrac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n} +\cdots $$ để có kết quả.

Hoặc: Trước hết khai triển Maclaurin của hàm $g(x)=e^{x} $

Tìm các đạo hàm của $g(x): g'(x),g^{''}(x),\ldots,g^{(n)} (x)$ .

Tiếp theo, tìm $g(0),g'(0),g^{''}(0),\ldots,g^{(n)} (0)$ và đưa ra kết quả khai triển Maclaurin của hàm $g(x)=e^{x} $: $$g(x)=g(0)+\dfrac{g'(0)}{1!} x+\dfrac{g^{''}(0)}{2!} x^{2}+ \cdots +\dfrac{g^{(n)} (0)}{n!} x^{n} +\cdots $$

Sau đó thực hiện phép toán $f(x)=x^{3} g(x)=x^{3} \left(g(0)+\dfrac{g'(0)}{1!} x+\dfrac{g^{''}(0)}{2!} x^{2}+ \cdots +\dfrac{g^{(n)} (0)}{n!} x^{n} +\cdots \right)$ để có kết quả cho khai triển Maclaurin của hàm $f(x)=x^{3} e^{x} $.

Tìm các đạo hàm của $f(x)=\dfrac{1}{2} (e^{x} +e^{-x})$: $f'(x),f^{''}(x),...,f^{(n)} (x)$

Tiếp theo, tìm $f(0),f'(0),f^{''}(0),...,f^{(n)} (0)$ và thay vào công thức $$f(x)=f(0)+\dfrac{f'(0)}{1!} x+\dfrac{f^{''}(0)}{2!} x^{2}+\cdots+\dfrac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n} +\cdots$$ để có kết quả.

Hoặc: Trước hết khai triển Maclaurin của hàm $g(x)=e^{x}$.

Tìm các đạo hàm của $g(x): g'(x),g^{''}(x),\ldots,g^{(n)}(x)$.

Tiếp theo, tìm $g(0),g'(0),g^{''}(0),\ldots,g^{(n)} (0)$ và đưa ra kết quả khai triển Maclaurin của hàm $g(x)=e^{x}$: $$g(x)=g(0)+\dfrac{g'(0)}{1!} x+\dfrac{g^{''}(0)}{2!} x^{2}+ \cdots+\dfrac{g^{(n)} (0)}{n!} x^{n} +\cdots$$

Tiếp theo, tương tự ta khai triển Maclaurin của hàm $h(x)=e^{-x} $: $$h(x)=h(0)+\dfrac{h'(0)}{1!} x+\dfrac{h^{''}(0)}{2!} x^{2}+\cdots+\dfrac{h^{(n)} (0)}{n!} x^{n} +\cdots $$

Cuối cùng, thực hiện phép toán: $f(x)=\dfrac{1}{2} \left[g(x)+h(x)\right]$ để có kết quả cho khai triển Maclaurin của hàm $f(x)=\dfrac{1}{2} (e^{x} +e^{-x})$.

Tìm các đạo hàm của $f(x)=xe^{x} $: $f'(x),f^{''}(x),\ldots,f^{(n)} (x)$.

Tiếp theo, tìm $f(0),f'(0),f^{''}(0),\ldots,f^{(n)} (0)$ và thay vào công thức $$f(x)=f(0)+\dfrac{f'(0)}{1!} x+\dfrac{f^{''}(0)}{2!} x^{2}+ \cdots+\dfrac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n} +\cdots $$ để có kết quả.

Hoặc: Trước hết khai triển Taylor hàm $g(x)=e^{x} $ ở lân cận của điểm  $x_{0} =0$.

Tìm các đạo hàm của  $g(x): g'(x),g^{''}(x),\ldots,g^{(n)} (x)$.

Tiếp theo, tìm $g(0), g'(0),g^{''}(0),\ldots,g^{(n)} (0)$ và đưa ra kết quả khai triển Taylor hàm $g(x)=e^{x}$ ở lân cận của điểm $x_{0}=0$: $$g(x)=g(0)+\dfrac{g'(0)}{1!} x+\dfrac{g^{''}(0)}{2!} x^{2}+ \cdots+\dfrac{g^{(n)} (0)}{n!} x^{n} +\cdots$$

Cuối cùng, thực hiện phép toán: $$f(x)=xg(x)=x\left(g(0)+\dfrac{g'(0)}{1!} x+\dfrac{g^{''}(0)}{2!} x^{2}+ \cdots +\dfrac{g^{(n)} (0)}{n!} x^{n} +\cdots \right)$$ để có kết quả cho khai triển Taylor hàm $f(x)=xe^{x} $ ở lân cận của điểm $x_{0} =0$.

HD: áp dụng định nghĩa chuỗi hàm (xét ${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} S_{n} (x)$).

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{n\sqrt[{3}]{n^{2} } } (x-3)^{n} $ có $a_{n} =\dfrac{1}{n\sqrt[{3}]{n^{2} } } $, áp dụng công thức $\rho ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \dfrac{|a_{n+1} |}{|a_{n} |} $  để tìm $\rho $. Tiếp theo, để tìm bán kính hội tụ $R$ và kết luận bài toán.