Trước hết, các em nên vẽ đồ thị biểu diễn miền D (trong cùng 1 mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ đồ thị các đường $y=x$ và $y=x^{2} $; tiếp theo, tìm các điểm giao nhau của đường thẳng $y=x$ và đường cong $y=x^{2} $. Cuối cùng, căn cứ vào đồ thị để đưa ra đáp án.

Đề bài cho miền $D:a\le x\le b;y_{1} (x)\le y\le y_{2} (x)$.

Trước hết, các em nên vẽ đồ thị biểu diễn miền $D:a\le x\le b;y_{1} (x)\le y\le y_{2} (x)$.

Sau đó, tìm các điểm giao nhau của các đường cong $y=x^{2} $ và $y=x^{3} $.

Tiếp theo, căn cứ vào đồ thị để biểu diễn lại miền $D$.

Cuối cùng, thay vào công thức đổi thứ tự trong tính tích phân bội hai để đưa ra kết quả.

Đề bài cho miền $D:a\le x\le b;y_{1} (x)\le y\le y_{2} (x)$.

Trước hết, các em nên vẽ đồ thị biểu diễn miền $D$ trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$.

Sau đó, tìm các điểm giao nhau của đường cong $y=x^{2} $ và đường thẳng $y=2x$.

Tiếp theo, căn cứ vào đồ thị để biểu diễn lại miền $D$. (dạng $D:c\le y\le d;x_{1} (y)\le x\le x_{2} (y)$)

Cuối cùng, thay vào công thức đổi thứ tự trong tính tích phân bội hai: $$\int _{a}^{b}dx \int _{y_{1} (x)}^{y_{2} (x)}f(x,y)dy =\int _{c}^{d}dy \int _{x_{1} (y)}^{x_{2} (y)}f(x,y)dx $$ để đưa ra kết quả.

Miền lấy tích phân $D:\left\{(x,y)\in {\rm R}^{2} |x^{2} +y^{2} \le 1;y\ge 0\right\}$ là một phần của hình tròn.

Do đó các em nên chuyển sang hệ tọa độ cực để tính tích phân đã cho, chú ý biểu diễn đúng miền $D':\varphi _{1} \le \varphi \le \varphi _{2} ;r_{1} (\varphi )\le r\le r_{2} (\varphi )$. $$\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy =\iint\limits_{D'}f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )rd\varphi dr =\int_{\varphi _{1} }^{\varphi _{2} }d\varphi \int _{r_{1} (\varphi )}^{r_{2} (\varphi )}f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )rdr ).$$

Ta có  $m=\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy =\iint\limits_{D}2xdxdy $ với $D:\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2} |(x-1)^{2} +y^{2} \le 1,x\ge 1\right\}$.

Thực hiện phép đổi hệ trục tọa độ: $\left\{\begin{array}{l} {X=x-1} \\ {Y=y} \end{array}\right. $ 

Ta có $m=\iint\limits_{D'}2(X+1)dXdY $ với $D':\left\{(X,Y)\in \mathbb{R}^{2} |X^{2} +Y^{2} \le 1,X\ge 0\right\}$.

Tiếp theo, chuyển sang tọa độ cực ($X=r\cos \varphi ;Y=r\sin \varphi ,J=r$ ) để tính tích phân (chú ý xác định đúng miền $D'$ trong tọa độ cực).

Miền lấy tích phân là hình tròn $D:\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2} |x^{2} +y^{2} \le 1\right\}$.

Do đó các em nên chuyển sang hệ tọa độ cực để tính tích phân đã cho (chú ý biểu diễn đúng miền $D':\varphi _{1} \le \varphi \le \varphi _{2} ;r_{1} (\varphi )\le r\le r_{2} (\varphi )$). $$\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy =\iint\limits_{D'}f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )rd\varphi dr =\int _{\varphi _{1} }^{\varphi _{2} }d\varphi \int _{r_{1} (\varphi )}^{r_{2} (\varphi )}f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )rdr.$$

Trước hết, vẽ đồ thị biểu diễn miền $D$ trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ (vẽ các đường $y=x$ và $x=y^{2}$, sau đó tìm giao điểm của các đường vừa vẽ).

Căn cứ vào đồ thị, xác định miền $D$ rồi thay vào 1 trong 2 công thức sau: $$\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy =\int _{a}^{b}dx \int _{y_{1} (x)}^{y_{2} (x)}f(x,y)dy \text{ hoặc }\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy =\int _{c}^{d}dy \int _{x_{1} (y)}^{x_{2} (y)}f(x,y)dx.$$

Xác định phép đổi biến (chẳng hạn $\left\{\begin{array}{l} {u=x+y} \\ {v=-3x+y} \end{array}\right. $ )

Tính định thức Jacobi $\dfrac{1}{J} =\dfrac{D(u,v)}{D(x,y)} =\left|\begin{array}{cc} {u'_{x} } & {u'_{y} } \\ {v'_{x} } & {v'_{y} } \end{array}\right|$ 

Sau đó thay vào công thức $$\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy =\iint\limits_{D'}f(x(u,v),y(u,v))|J|dudv.$$

HD: thay vào công thức: $$\iint\limits _{D}f(x,y)dxdy =\int _{a}^{b}dx \int _{y_{1} (x)}^{y_{2} (x)}f(x,y)dy $$ (tính tích phân theo biến $y$ trước).

HD: có thể vẽ đồ thì 2 hàm số $y=x^{2} $ và $y=2-x^{2} $.

Tìm giao điểm của 2 đường cong $y=x^{2}$ và $y=2-x^{2}$. Từ đó đưa ra kết quả cho bài toán.