Để xét tính hội tụ, phân kỳ của các chuỗi số đã cho ta có thể: áp dụng định lý so sánh 2 đối với các chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{n}{2021n^{5} +3} $ và $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{3}{2n} $  (so sánh với chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{n^{\alpha }}$); áp dụng định nghĩa (xét ${\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} S_{n} $) đối với chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }(n^{2} +2) $ và áp dụng định lý về điều kiện ắt có của chuỗi số hội tụ đối với chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{n}{3n+1} $.

Áp dụng định nghĩa chuỗi số.

Trước hết ta phân tích số hạng tổng quát thành tổng của những phân thức đơn giản $u_{n} =\dfrac{5}{n(n+1)} =5\left(\dfrac{1}{n} -\dfrac{1}{n+1} \right)$, từ đó tìm tổng riêng thứ $n$ (nghĩa là tìm $S_{n}$) và cuối cùng xét ${\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} S_{n} $ để có kết quả.

Phân tích  $u_{n} =\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)} =\dfrac{1}{2} \left(\dfrac{1}{2n-1} -\dfrac{1}{2n+1} \right)$ 

Từ đó tìm tổng riêng thứ $n$ (nghĩa là tìm $S_{n}$)

Thay $n=50$ vào $S_{n} $ để có kết quả cho bài toán.

Nhận xét  $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {n^{2021}}{a_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_n}}}{{\frac{1}{{{n^{2021}}}}}} = 100$

Áp dụng định lý so sánh 2: so sánh chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }a_{n}$ với chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{n^{2021} }$.

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1+3^{n} }{5^{n} }=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{5^{n} } +\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\left(\dfrac{3}{5} \right)^{n} $

Áp dụng định nghĩa (xét ${\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} S_{n} $) cho từng chuỗi ở vế phải.

Hay áp dụng kết quả (đã được chứng minh bằng định nghĩa) của chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }q^{n}$ ($\sum\limits_{n=1}^{+\infty }q^{n}$ hội tụ khi $|q|<1$ và có tổng $S=\dfrac{q}{1-q}$).

Áp dụng định nghĩa (xét ${\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} S_{n} $).

Áp dụng định nghĩa (xét {\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} S_{n} $).

Có thể áp dụng định lý so sánh 2 (so sánh với chuỗi điều hòa $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{n} $)

Có thể áp dụng định lý so sánh 2 đối với chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{2022}{n^{2} +1} $ (so sánh với chuỗi Riemann $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{n^{2} }$) và áp dụng định lý Leibniz đối với chuỗi đan dấu $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{(-1)^{n+1} }{n+2022} $)

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{3^{n+1} }{2^{2n} }=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{9}{4} .\left(\dfrac{3}{4} \right)^{n-1} $

Áp dụng định nghĩa (xét ${\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} S_{n} $) cho chuỗi ở vế phải

Hay áp dụng kết quả (đã được chứng minh bằng định nghĩa) của  chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }aq^{n-1}, (a\ne 0)$ ($\sum\limits_{n=1}^{+\infty }aq^{n-1}, (a\ne 0)$ hội tụ khi $|q|<1$ và có tổng  $S=\dfrac{a}{1-q} $)