Nếu $f(x)$ là hàm chẵn thì $f(x)\sin nx$ là hàm lẻ và $f(x)\cos nx$ là hàm chẵn.

Do đó \begin{align}a_{n}&=\dfrac{1}{\pi } \int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx =\frac{2}{\pi } \int _{0}^{\pi }f(x)\cos nxdx {\rm \; \; \; \; }(n=0,1,2,3...)\label{3.5}\tag{2}\\b_{n}&=\dfrac{1}{\pi } \int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx =0{\rm \; \; \; \; }(n=1,2,3...)\end{align} Vậy, chuỗi Fourier của hàm chẵn $f(x)$ là $f(x)=\dfrac{a_{0} }{2} +\sum\limits_{n=1}^{+\infty }a_{n} \cos nx $. Trong đó $a_{n} $ được xác định bởi công thức \eqref{3.5}.

Nếu $f(x)$ là hàm lẻ thì $f(x)\sin nx$ là hàm chẵn và $f(x)\cos nx$ là hàm lẻ.

Do đó: \begin{align}a_{n}&=\dfrac{1}{\pi } \int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx =0{\rm \; \; \; \; }(n=0,1,2,3...)\\$b_{n}&=\dfrac{1}{\pi } \int_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx =\dfrac{2}{\pi } \int _{0}^{\pi }f(x)\sin nxdx {\rm \; \; \; \; }(n=1,2,3...)\label{3.6}\tag{3}\end{align} Vậy, chuỗi Fourier của hàm lẻ $f(x)$ là $f(x)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }b_{n} \sin nx $. Trong đó $b_{n} $ được xác định bởi công thức \eqref{3.6}.

Tiếp theo, để xác định các hệ số Fourier ta có nhận xét: $f(x)$ là hàm chẵn nên $b_{n}=0,{\rm \; }\forall n=1,2,3...$\begin{align}a_{0}&=\dfrac{1}{\pi } \int_{-\pi }^{\pi }f(x)dx =\dfrac{2}{\pi } \int _{0}^{\pi }f(x)dx =\dfrac{2}{\pi } \int _{0}^{\pi }xdx =\left. \dfrac{x^{2} }{\pi } \right|_{0}^{\pi } =\pi\\a_{n}&=\dfrac{2}{\pi } \int _{0}^{\pi }f(x)\cos nxdx=\dfrac{2}{\pi } \int _{0}^{\pi }x\cos nxdx =\dfrac{2}{\pi n^{2} } (\cos n\pi -1)=\begin{cases}0&\text{với }n=2k\\\dfrac{-4}{\pi n^{2}} &\text{với }n=2k+1\end{cases}.\end{align} Căn cứ vào đồ thị, ta thấy hàm $f(x)$ không bị gián đoạn tại bất kì điểm nào.

Vậy, $f(x)=\dfrac{a_{0}}{2}+\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_{n} \cos nx =\dfrac{\pi }{2} -\dfrac{4}{\pi } \left(\cos x+\dfrac{1}{3^{2} }\cos 3x+\dfrac{1}{5^{2} } \cos 5x+\cdots \right);{\rm \; }\forall x\in \mathbb{R}$.

Ví dụ 4. Khai triển thành chuỗi Fourier  hàm $f(x)$ tuần hoàn với chu kỳ $2\pi $, xác định bởi $f(x)=2x,\forall x\in [-\pi ,\pi ]$.

Hướng dẫn. Ngoài cách trình bày ở Ví dụ 1, ta có thể trình bày tương tự Ví dụ 3 (giảm bớt việc tính các hệ số).

Đầu tiên, các em nên vẽ đồ thị hàm số đã cho (để khẳng định hàm số đã cho có thể khai triển thành chuỗi Fourier và dễ dàng chỉ ra các điểm gián đoạn của hàm số).

Tiếp theo căn cứ vào giả thiết bài toán (kết hợp quan sát đồ thị hàm số vừa vẽ) để đưa ra nhận xét: $f(x)$ thỏa mãn các điều kiện của định lý Dirichlet, nên khai triển được thành chuỗi Fourier.

Để xác định các hệ số Fourier ta có nhận xét: $f(x)$ là lẻ nên  $a_{n} =0,{\rm \; }\forall n=0,1,2,3\ldots$
$$b_{n} =\dfrac{1}{\pi } \int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx =\frac{4}{\pi } \int _{0}^{\pi }x\sin nxdx =\frac{-4\cos n\pi }{n} =(-1)^{n+1} \frac{4}{n} =\left\{\begin{array}{l} {\dfrac{4}{n} ;n=2k+1} \\ {-\dfrac{4}{n} ;n=2k} \end{array}\right. $$ Căn cứ vào đồ thị, ta thấy hàm số đã cho bị gián đoạn tại các điểm $x=(2k+1)\pi ,{\rm \; }k\in \mathbb{Z}.$

Nên $\forall x\ne (2k+1)\pi ,{\rm \; }k\in \mathbb{Z}$,ta có $$f(x)=\dfrac{a_{0} }{2} +\sum _{n=1}^{+\infty }(a_{n} \cos nx+b_{n} \sin nx) =\sum _{n=1}^{+\infty }b_{n} \sin nx =\sum _{n=1}^{+\infty }(-1)^{n+1} \dfrac{4}{n} \sin nx $$ Vậy $f(x)=4\left(\sin x-\dfrac{\sin 2x}{2} +\dfrac{\sin 3x}{3} -\cdots \right)$,$\forall x\ne (2k+1)\pi ,{\rm \; }k\in \mathbb{Z}$.

Tại $x=(2k+1)\pi ,{\rm \; }k\in {\rm Z}$, ta có $S(x)=\dfrac{2\pi +(-2\pi )}{2}=0$.

 Giả sử $f(x)$ tuần hoàn với chu kỳ $2l$, đơn điệu từng khúc và bị chặn trên $[-l,l]$. Khi đó bằng phép biến đổi $x'=\dfrac{\pi }{l} x$ ta có $f(x)=f\left(\dfrac{l}{\pi } x'\right)=F(x')$  trong đó $F(x')$ tuần hoàn với chu kỳ $2\pi $, đơn điệu từng khúc và bị chặn trên $[-\pi ,\pi]$, do đó có thể khai triển được thành chuỗi Fourier.   

Ta có: $F(x')=\dfrac{a_{0}}{2}+\sum\limits_{n=1}^{+\infty }(a_{n} \cos nx'+b_{n} \sin nx') =\dfrac{a_{0} }{2} +\sum\limits_{n=1}^{+\infty }(a_{n} \cos n\dfrac{\pi }{l} x+b_{n} \sin n\dfrac{\pi }{l} x) $

Với: \begin{align}a_{n}&=\dfrac{1}{l} \int_{-l}^{l}f(x)\cos n\frac{\pi }{l} xdx ;{\rm \; \; }n=0,1,2,3\ldots\\b_{n} &=\dfrac{1}{l} \int_{-l}^{l}f(x)\sin n\dfrac{\pi }{l} xdx ;{\rm \; \; }n=1,2,3\ldots\end{align}

  Vậy, $f(x)=\dfrac{a_{0} }{2} +\sum _{n=1}^{+\infty }(a_{n} \cos n\dfrac{\pi }{l} x+b_{n} \sin n\dfrac{\pi }{l} x) $.

Ví dụ 5. Khai triển thành chuỗi Fourier hàm $f(x)$ tuần hoàn với chu kỳ 2, xác định bởi $f(x)=x,\forall x\in [-1,1]$.

Hướng dẫn. Tương tự 4 ví dụ trên:

Đầu tiên, các em nên vẽ đồ thị hàm số đã cho (để khẳng định hàm số đã cho có thể khai triển thành chuỗi Fourier và dễ dàng chỉ ra các điểm gián đoạn của hàm số).

Tiếp theo căn cứ vào giả thiết bài toán (kết hợp quan sát đồ thị hàm số vừa vẽ) để đưa ra nhận xét: $f(x)$ khai triển được thành chuỗi Fourier.

Tiếp theo, để xác định các hệ số Fourier ta có nhận xét:

$f(x)$ là lẻ nên  $a_{n} =0,{\rm \; }\forall n=0,1,2,3...$ và
$$b_{n} =\dfrac{1}{1} \int _{-1}^{1}f(x)\sin n\dfrac{\pi }{1} xdx =2\int _{0}^{1}x\sin n\pi xdx =\dfrac{-2\cos n\pi }{n\pi } =(-1)^{n+1}\dfrac{2}{n\pi}=\begin{cases}\dfrac{2}{n\pi}&\text{với}n=2k+1\\-\dfrac{2}{n\pi}&\text{với}n=2k\end{cases}.$$

Căn cứ vào đồ thị, ta thấy $f(x)$ bị gián đoạn tại $x=2k+1,{\rm \; }k\in {\rm Z}$.

Nên: $\forall x\ne 2k+1,{\rm \; }k\in \mathbb Z$, ta có: $f(x)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }b_{n} \sin n\pi x =\sum\limits_{n=1}^{+\infty }(-1)^{n+1} \dfrac{2}{n\pi } \sin n\pi x $.

Vậy, $f(x)=\dfrac{2}{\pi } \left(\sin \pi x-\dfrac{1}{2} \sin 2\pi x+\dfrac{1}{3} \sin 3\pi x-\cdots \right)$, $\forall x\ne 2k+1,{\rm \; }k\in \mathbb{Z}$.

 Tại $x=2k+1,{\rm \; }k\in \mathbb{Z}$, ta có $S(x)=\dfrac{1+(-1)}{2} =0$.

Giả sử cho hàm $f(x)$ đơn điệu từng khúc và bị chặn trên $[a,b]$ (có thể không tuần hoàn).

Muốn khai triển $f(x)$ thành chuỗi Fourier ta xây dựng một hàm tuần hoàn $g(x)$ có chu kỳ $\ge (b-a)$ sao cho $g(x)=f(x),{\rm \; \; }\forall x\in {\rm [}a,b{\rm ]}$.

Nếu hàm $g(x)$ có thể khai triển được thành chuỗi Fourier thì tổng của chuỗi đó bằng $f(x)$ tại mọi điểm của $[a,b]$, trừ tại những điểm gián đoạn của $f(x).$ Rõ ràng có nhiều cách xây dựng một hàm $g(x)$ như thế, với mỗi hàm $g(x)$ có một chuỗi Fourier tương ứng, do đó có nhiều chuỗi Fourier biểu diễn hàm $f(x)$.

Nếu $g(x)$ là hàm chẵn thì chuỗi Fourier của nó chỉ gồm những hàm $\cos$, còn nếu $g(x)$ là hàm lẻ thì chuỗi Fourier của nó chỉ gồm những hàm $\sin$.

Nếu $f(x)$ xác định và đơn điệu từng khúc trên đoạn $[0,l]$ thì có thể xác định thêm hàm đó trên đoạn $[-l,0]$ một cách tùy ý nhưng phải bảo toàn tính đơn điệu từng khúc, sau đó ta khai triển hàm đó thành chuỗi Fourier (đặc biệt có thể xác định thêm hàm $f(x)$ trên đoạn $[-l,0]$ bằng cách đặt $f(x)=f(-x)$, khi đó ta được 1 hàm chẵn (ta nói rằng đã kéo dài chẵn (thác triển chẵn) hàm $f(x)$) và khi đó khai triển Fourier của hàm $f(x)$ xác định trên đoạn $[-l,l]$ chỉ chứa các số hạng có cosin (như vậy ta đã khai triển hàm $f(x)$ cho trên đoạn ${\rm [}0,l{\rm ]}$ theo cosin); còn nếu  xác định thêm hàm $f(x)$ trên đoạn $[-l,0]$ bằng cách đặt $f(x)=-f(-x)$, khi đó ta được 1 hàm lẻ (ta nói rằng đã kéo dài lẻ (thác triển lẻ) hàm $f(x)$) và khai triển Fourier của hàm $f(x)$ xác định trên đoạn $[-l,l]$  chỉ chứa các số hạng $\cos$ (như vậy ta đã khai triển hàm $f(x)$ cho trên đoạn $[0,l]$ theo $\sin$). Như vậy, nếu $f(x)$ xác định và đơn điệu từng khúc trên đoạn $[0,l]$  thì có thể khai triển nó thành chuỗi Fourier hoặc theo $\cos$ hoặc theo $\sin$.