Công thức đổi biến

Cần tính $\iiint\limits _{Q}f(x,y,z)dxdydz $.

Thực hiện phép đổi biến: $\left\{\begin{array}{l} {x=x(u,v,w),} \\ {y=y(u,v,w),} \\ {z=z(u,v,w).} \end{array}\right. $ (*)

Giả sử

1) Các hàm $x(u,v,w);{\rm \; }y(u,v,w);{\rm \; }z=y(u,v,w)$ liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trên miền $Q'$ đóng nằm trong không gian $Ouvw$.

2) Các công thức (*) xác định một song ánh từ $Q'$ lên $Q$.

3)$J=\dfrac{D(x,y,z)}{D(u,v,w)} =\left|\begin{array}{ccc} {x'_{u} } & {x'_{v} } & {x'_{w} } \\ {y'_{u} } & {y'_{v} } & {y'_{w} } \\ {z'_{u} } & {z'_{v} } & {z'_{w} } \end{array}\right|\ne 0{\rm \; \; \; }\forall (u,v,w)\in Q'$.

Khi đó, ta có công thức đổi biến trong tính tích phân bội ba $$\iiint\limits _{Q}f(x,y,z)dxdydz =\iiint\limits _{Q'}f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|J|dudvdw \label{9.3.5}\tag{5}.$$

Ví dụ 3

Tính thể tích miền được giới hạn bởi các mặt sau $$x+y+z=-3; x+y+z=3;{\rm \; }x+2y-z=-1;{\rm \; }x+2y-z=1;{\rm \; }x+4y+z=-2;{\rm \; }x+4y+z=2.$$

Thể tích miền $Q$: $V_Q=\iiint\limits _{Q}dxdydz $.

Thực hiện phép đổi biến $\left\{\begin{array}{l} {u=x+y+z} \\ {v=x+2y-z} \\ {w=x+4y+z} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {x=\frac{1}{2} (2u+v-w)} \\ {y=\frac{1}{3} (-u+w)} \\ {z=\frac{1}{6} (2u-3v+w)} \end{array}\right..$

Xác định miền $Q'$: $Q'=\left\{(u,v,w)\in \mathbb{R}^{3} |-3\le u\le 3;-1\le v\le 1;-2\le w\le 2\right\}$.

Dễ thấy phép đổi biến trên xác định một song ánh từ $Q'$ lên $Q$.

Ta có: $J=\dfrac{D(x,y,z)}{D(u,v,w)} =\left|\begin{array}{ccc} {x'_{u} } & {x'_{v} } & {x'_{w} } \\ {y'_{u} } & {y'_{v} } & {y'_{w} } \\ {z'_{u} } & {z'_{v} } & {z'_{w} } \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} {1} & {\frac{1}{2} } & {-\frac{1}{2} } \\ {-\frac{1}{3} } & {0} & {\frac{1}{3} } \\ {\frac{1}{3} } & {-\frac{1}{2} } & {\frac{1}{6} } \end{array}\right|=\dfrac{1}{6} \ne 0{\rm \; \; \; }\forall (u,v,w)\in Q'$.

Áp dụng công thức \eqref{9.3.5} ta có $$V=\iiint\limits _{Q}dxdydz =\dfrac{1}{6} \int _{-3}^{3}du \int _{-1}^{1}dv \int _{-2}^{2}dw =8 \text{ (đvtt)}.$$