Chuỗi hàm $\sum\limits^{+\infty }_{n=1}{u_n(x)}$ được gọi là hội tụ đều trên $X$ đến $S(x)$ nếu: $\forall \varepsilon >0,\ \exists n_0\in \mathbb{N}$ sao cho khi $n>n_0$ ta có $\left|S_n\left(x\right)-S_q(x)\right|<\varepsilon ,\ \forall x\in X.$ 

Chuỗi hàm $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }u_{n} (x) $ hội tụ đều trên $X$ đến $S(x)$ khi và chỉ khi  $\forall \varepsilon >0,\exists n_{0} \in \mathbb{N}$ sao cho khi $p>q>n_{0} $  ta có $|S_{p} (x)-S_{q} (x)|<\varepsilon ,\forall x\in X$.   

Cho chuỗi hàm $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }u_{n} (x)$,  nếu tồn tại chuỗi số dương $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }a_{n} $ hội tụ sao cho $|u_{n} (x)|\le a_{n} ,\forall n\in \mathbb{N},\forall x\in X$ thì chuỗi hàm đã cho hội tụ tuyệt đối và đều trên $X$.

Ví dụ 2. Xét sự hội tụ của chuỗi hàm $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{\cos nx}{n^{2}}$.

Hướng dẫn. Nhận xét  $\forall n\in\mathbb N,\forall x\in \mathbb{R}:|u_{n} (x)|=\left|\dfrac{\cos nx}{n^{2} } \right|\le \dfrac{1}{n^{2} } =a_{n}$ 

Mặt khác, $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{n^{2} }$  là chuỗi số dương hội tụ (chuỗi Riemann có $\alpha =2>1$ )

Vậy chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối và đều trên $\mathbb{R}$ .

Ví dụ 3. Xét sự hội tụ của chuỗi hàm $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{x^{n} }{n\sqrt[{3}]{n^{2}}},x\in [-1,1]$.

Hướng dẫn. Nhận xét  $\forall n\in \mathbb{N},\forall x\in [-1,1]:|u_{n} (x)|=\left|\dfrac{x^{n} }{n\sqrt[{3}]{n^{2} } } \right|\le \dfrac{1}{n^{5/3} } =a_{n}.$ 

Mặt khác, $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{n^{5/3}}$ là chuỗi số dương hội tụ (chuỗi Riemann có $\alpha =\dfrac{5}{3} >1$)

Vậy, chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối và đều trên đoạn $[-1,1]$.

Định lý 1. Cho chuỗi hàm $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }u_{n} (x) $ trong đó mọi hàm $u_{n} (x)$ đều liên tục trên $X$. Khi đó nếu $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }u_{n} (x) $ hội tụ đều trên $X$ thì tổng $S(x)$ của nó cũng liên tục trên $X$.

Như vậy, nếu $S(x)$ không liên tục trên $X$ thì $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }u_{n} (x) $ không hội tụ đều trên $X$.

Định lý 2. Cho chuỗi hàm $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }u_{n} (x) $ trong đó mọi hàm $u_{n} (x)$  đều liên tục trên  ${\rm [}a,b{\rm ]}$ và $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }u_{n} (x) $ hội tụ đều trên đoạn đó tới $S(x)$ thì ta có thể lấy tích phân từng số hạng của chuỗi hàm $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }u_{n} (x) $ trên ${\rm [}a,b{\rm ]}$: $$\int\limits_{a}^{b}S(x)dx =\int\limits_{a}^{b}\left[\sum\limits_{n=1}^{+\infty }u_{n} (x) \right]dx= \sum\limits_{n=1}^{+\infty }\int\limits_{a}^{b}u_{n} (x)dx.$$

Ví dụ 4. Ta có thể lấy tích phân từng số hạng của chuỗi hàm $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{\cos nx}{n^{2} } $  trên đoạn $\left[0,\dfrac{\pi }{2} \right]$  được không?

Hướng dẫn. Vì các hàm $u_{n} (x)=\dfrac{\cos nx}{n^{2} }$ đều liên tục trên $\mathbb{R}$ nên $u_{n} (x)=\dfrac{\cos nx}{n^{2} }$ đều liên tục trên $\left[0,\dfrac{\pi }{2} \right]$.

Mặt khác, theo kết quả đã chứng minh ở ví dụ 2, $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{\cos nx}{n^{2} }$ hội tụ đều trên $\mathbb{R}$ nên cũng hội tụ đều trên $\left[0,\frac{\pi }{2} \right]$.

Theo Định lý 2, ta có thể lấy tích phân từng số hạng của chuỗi hàm $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{\cos nx}{n^{2} } $ trên đoạn $\left[0,\dfrac{\pi }{2} \right]$ được và ta có kết quả: \begin{align}\int\limits_{0}^{\pi /2}S(x)dx&=\int _{0}^{\pi /2}\left[\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\cos nx}{n^{2}}\right]dx=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\int\limits_{0}^{\pi /2}\dfrac{\cos nx}{n^{2}}dx=\int\limits_{0}^{\pi/2}\cos xdx+\int\limits_{0}^{\pi /2}\dfrac{\cos 2x}{2^{2} } dx +\int\limits_{0}^{\pi /2}\dfrac{\cos 3x}{3^{2} } dx +\cdots\\&=\sin x\Big|_{0}^{\pi /2} +\dfrac{1}{2^{3} }\sin 2x\Big|_{0}^{\pi /2} +\dfrac{1}{3^{3} }\sin 3x\Big|_{0}^{\pi /2} +\cdots +\dfrac{1}{n^{3} }\sin nx\Big|_{0}^{\pi /2} +\cdots\\&=1-\dfrac{1}{3^{3} } +\dfrac{1}{5^{3} } -\dfrac{1}{7^{3} } +\cdots +(-1)^{k} \dfrac{1}{(2k+1)^{3} } +\cdots\end{align}

Định lý 3. Cho chuỗi hàm $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }u_{n} (x) $ hội tụ trên $(a,b)$, trong đó mọi hàm $u_{n} (x)$ đều liên tục cùng với các đạo hàm của chúng trên $(a,b)$. Khi đó nếu $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }u_{n} '(x) $ hội tụ đều trên $(a,b)$ thì ta có thể lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi hàm $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }u_{n} (x) $ trên $(a,b)$: $S'(x)=\left(\sum\limits_{n=1}^{+\infty }u_{n} (x) \right)'=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }u'_{n} (x), \forall x\in (a,b)$.

Ví dụ 5. Ta có thể lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi hàm trên $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{\sin nx}{n^{3}}$ trên $\mathbb{R}$.

Hướng dẫn. Trước hết ta chứng minh chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{\sin nx}{n^{3} }$ hội tụ (tương tự ví dụ 2) và chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\left(\dfrac{\sin nx}{n^{3}}\right)'$ hội tụ đều trên $\mathbb{R}$: \[\forall n\in \mathbb{N},\forall x\in\mathbb{R}:|u_{n} (x)|=\left|\dfrac{\sin nx}{n^{3} } \right|\le \dfrac{1}{n^{3} }=a_{n} \]     Mà chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{n^{3} } $ là chuỗi số dương hội tụ (chuỗi Riemann có $\alpha =3>1$ )

Vậy, chuỗi đã cho hội tụ trên $\mathbb{R}$ .

Mặt khác: $\left(\dfrac{\sin nx}{n^{3} } \right)' =\dfrac{\cos nx}{n^{2}}$ nghĩa là $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\left(\dfrac{\sin nx}{n^{3} } \right)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{\cos nx}{n^{2}}$ (theo Ví dụ 2 thì chuỗi này hội tụ đều trên $\mathbb{R}$).

Vì các hàm $u_{n} (x)=\dfrac{\cos nx}{n^{2} } ;{\rm \; }\left(u_{n} (x)\right)'=\dfrac{\sin nx}{n^{3} } $ đều liên tục trên $\mathbb{R}$ nên theo Định lý 3 thì ta có thể lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi hàm $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{\sin nx}{n^{3} } $ trên $\mathbb{R}$, ta có kết quả: $$\left(\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{\sin nx}{n^{3} } \right)' =\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\left(\dfrac{\sin nx}{n^{3}}\right)'=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{\cos nx}{n^{2} } =\cos x+\dfrac{\cos 2x}{2^{2} } +\dfrac{\cos 3x}{3^{2} } +\cdots $$