Sử dụng công thức: $(\ln u)'_{x} =\dfrac{u'_{x} }{u} ;(\ln u)'_{y} =\dfrac{u'_{y} }{u} $ để tìm $z'_{x},z'_{y}$ rồi thay vào công thức vi phân toàn phần $dz=z'_{x} dx+z'_{y} dy$.

Sử dụng công thức: $(e^{u} )'_{x} =u'_{x} e^{u} ;(e^{u} )'_{y} =u'_{y} e^{u} $ để tìm $z'_{x} ,z'_{y}$ (lưu ý: Khi tìm đạo hàm riêng của $u$ theo biến $x$ thì ta xem $y$ là hằng số và ngược lại: tìm đạo hàm riêng của $u$ theo biến $y$ thì ta xem $x$ là hằng số).

Cuối cùng, thay $z'_{x},z'_{y}$ vào công thức vi phân toàn phần $dz=z'_{x} dx+z'_{y} dy$.

Tìm $z'_{x} ,z'_{y}$ (lưu ý: Khi tìm đạo hàm riêng của $z$ theo biến $x$ thì ta xem $y$ là các hằng số và ngược lại: tìm đạo hàm riêng của $z$ theo biến $y$ thì ta xem $x$ là các hằng số).

Tương tự, tìm các đạo hàm riêng cấp 2 của z: $z^{''}_{xx} =(z'_{x} )'_{x}; z^{''}_{xy}=(z'_{x} )'_{y} ;z^{''}_{yy} =(z'_{y} )'_{y}.$

Cuối cùng, thay $z^{''}_{xx};z^{''}_{xy};z^{''}_{yy}$ vào công thức vi phân toàn phần cấp 2 $d^{2} z=z^{''}_{xx} dx^{2} +2z^{''}_{xy} dxdy+z^{''}_{yy} dy^{2}$.

Áp dụng định nghĩa (lưu ý: Khi tìm đạo hàm riêng của $u$ theo biến $z$ thì ta xem $x, y$ là các hằng số)

Áp dụng công thức đạo hàm của tích. Lưu ý: khi tìm đạo hàm riêng của $u$ theo biến $x$ thì ta xem $y$ là hằng số.

Lưu ý: Khi tìm đạo hàm riêng của $u$ theo biến $x$ thì ta xem $y$ là hằng số.

Áp dụng công thức tìm đạo hàm của thương để tìm $u'_{x} $ , tương tự tìm đạo hàm của $u'_{x} theo biến $x$ ta sẽ có kết quả $u^{''}_{xx} =(u'_{x} )'_{x}$.

Trước hết, xác định hàm số đã cho là hàm hợp $z=z\left[x(u,v),y(u,v)\right]$.

Tìm các đạo hàm riêng $z'_{x} ,z'_{y} ,x'_{u} ,y'_{u} $ (Lưu ý: Khi tìm đạo hàm riêng của $z$ theo biến $x$ thì ta xem $y$ là hằng số và ngược lại, khi tìm đạo hàm riêng của $x$ theo biến $u$ thì ta xem $v$ là hằng số và khi tìm đạo hàm riêng của $y$ theo biến $u$ thì ta xem $v$ là hằng số).

Sau đó, áp dụng công thức tìm đạo hàm hàm hợp: $z'_{u} =z'_{x} .x'_{u} +z'_{y} .y'_{u} $ để có đáp án.

Trước hết, xác định hàm số đã cho là hàm hợp $z=z\left[x(u,v),y(u,v)\right]$.

Tìm các đạo hàm riêng $z'_{x} ,z'_{y} ,x'_{v} ,y'_{v} $. (Lưu ý: Khi tìm đạo hàm riêng của $z$ theo biến $x$ thì ta xem $y$ là hằng số và ngược lại và khi tìm đạo hàm riêng của $x$ hay $y$ theo biến $v$ thì ta xem $u$ là hằng số).

Sau đó, áp dụng công thức tìm đạo hàm hàm hợp: $z'_{v} =z'_{x} .x'_{v} +z'_{y} .y'_{v} $ để có đáp án.

Giả sử $F(x,y):=xe^{y} +ye^{x} -3e^{xy}$. Tìm $F'_{x} ;F'_{y}$ (Lưu ý: Khi tìm đạo hàm riêng của $F$ theo biến $x$ thì ta xem $y$ là hằng số và ngược lại).

Sau đó, áp dụng công thức tìm đạo hàm của hàm ẩn $y'=-\dfrac{F'_{x} }{F'_{y} }$, ta sẽ có kết quả cần tìm cho $y'$.

Giả sử $F(x,y,z)=x+y+z-e^{xyz} =0$. Tìm $F'_{x};F'_{y} ;F'_{z}$.  (Lưu ý: Khi tìm đạo hàm riêng của $F$ theo biến nào đó thì ta xem các biến còn lại đều là hằng số)

Sau đó, áp dụng công thức tìm đạo hàm của hàm ẩn $z'_{x} =-\dfrac{F'_{x} }{F'_{z} }$, ta sẽ có kết quả cần tìm cho.