a. Khái niệm.
Giả sử hàm số $f(x)$ tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$ và có thể khai triển được thành chuỗi lượng giác trên $[-\pi ,\pi]$.
Khi đó ta có thể viết: $$f(x)=\dfrac{a_{0}}{2} +\sum\limits_{n=1}^{+\infty }(a_{n} \cos nx+b_{n} \sin nx)\label{3.1}\tag{1}.$$
Lấy tích phân 2 vế của \label{3.1} từ $-\pi$ đến $\pi$, ta có $$\int\limits_{-\pi }^{\pi }f(x)dx =\int\limits_{-\pi }^{\pi }\dfrac{a_{0} }{2} dx \Rightarrow a_{0}=\dfrac{1}{\pi }\int\limits_{-\pi }^{\pi }f(x)dx \label{3.2}\tag{a}$$
Nhân 2 vế của \eqref{3.1} với $\cos kx, (k\in \mathbb{N}^{*} )$ rồi lấy tích phân 2 vế của đẳng thức nhận được từ $-\pi $ đến $\pi $, ta có $$\int\limits_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx =\pi a_{n} \Rightarrow a_{n} =\dfrac{1}{\pi } \int\limits_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx, (n=1,2,3...)\label{3.3}\tag{b}$$ Khi $n=0$ thì công thức \eqref{3.2} chính là công thức \eqref{3.2} hay $a_{0}$ là trường hợp đặc biệt của $a_{n} $ khi $n=0$.
Nhân 2 vế của \eqref{3.1} với $\sin kx$ rồi lấy tích phân 2 vế của đẳng thức nhận được từ $-\pi $ đến $\pi $, ta có $$\int\limits_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx =\pi b_{n} \Rightarrow b_{n} =\dfrac{1}{\pi } \int\limits_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx ,(n=1,2,3...)\label{3.4}\tag{c}$$Các hệ số $a_{0} ,a_{1} ,a_{2} ,\cdots ,a_{n} \cdots ,b_{1} ,b_{2} ,\cdots ,b_{n} \cdots $ được xác định theo các công thức \eqref{3.2}, \eqref{3.3}, \eqref{3.4} được gọi là các hệ số Fourier của hàm $f(x)$. Chuỗi lượng giác \eqref{3.1} trong đó các hệ số được xác định bởi các công thức \eqref{3.2}, \eqref{3.3}, \eqref{3.4} được gọi là chuỗi Fourier của hàm $f(x)$.
Như vậy, các hệ số Fourier của hàm $f(x)$: \begin{align}a_{n}&=\dfrac{1}{\pi } \int\limits_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx, \quad n=0,1,2,3...,\\b_{n}&=\dfrac{1}{\pi } \int\limits_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx, \quad n=1,2,3...\end{align}
Thay các hệ số Fourier vào $\dfrac{a_{0} }{2} +\sum\limits_{n=1}^{+\infty }(a_{n} \cos nx+b_{n} \sin nx)$ ta sẽ có chuỗi Fourier của hàm $f(x)$. Nếu tổng $S(x)$ của chuỗi trên đúng bằng $f(x)$ thì ta nói $f(x)$ khai triển được thành chuỗi Fourier và có thể viết: $$f(x)=\dfrac{a_{0} }{2} +\sum\limits_{n=1}^{+\infty }(a_{n} \cos nx+b_{n} \sin nx).$$
