Skip navigation

2.1 Khái niệm chuỗi hàm

Định nghĩa

Chuỗi hàm là chuỗi mà các số hạng của nó là những hàm của biến độc lập $x$, kí hiệu $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }u_{n} (x) $.

Chú ý

Khi cho $x$ một giá trị cụ thể $x_{0} $, chuỗi hàm $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }u_{n} (x) $ trở thành chuỗi số $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }u_{n} (x_{0} ) $. Nếu chuỗi số $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }u_{n} (x_{0} )$ hội tụ (phân kỳ) thì $x_{0}$ được gọi là điểm hội tụ (điểm phân kỳ) của chuỗi hàm $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }u_{n} (x)$. Tập tất cả các điểm hội tụ của chuỗi hàm được gọi là miền hội tụ của chuỗi hàm.

$S_{n} (x):=\sum\limits_{k=1}^{n}u_{k} (x) $ là tổng riêng thứ $n$ của chuỗi hàm.      

Nếu $\exists {\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} S_{n} (x)=S(x)$ thì ta nói chuỗi hàm $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }u_{n} (x) $ hội tụ về hàm $S(x)$ và có thể viết: $\sum\limits_{n=1}^{\infty }u_{n} (x)= S(x)$

$R_{n} (x):=S(x)-S_{n} (x)$ được gọi là phần dư thứ $n$ của chuỗi hàm.

Như vậy, chuỗi hàm hội tụ khi và chỉ khi $R_{n} (x)\to 0$ khi $n\to \infty $.

Ví dụ 1

Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi hàm $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }x^{n} $.