Phương trình vi phân có biến phân li là phương trình vi phân cấp một có dạng: $$f_{1} (x)dx+f_{2} (y)dy=0\label{10.2.2}\tag{2}$$trong đó $f_{1} (x)$ là hàm của biến độc lập $x$ và $f_{2} (y)$ là hàm của biến độc lập $y$.
Lời giải.
Từ phương trình $f_{1} (x)dx+f_{2} (y)dy=0$ ta có $f_{1} (x)dx=-f_{2} (y)dy$.
Lấy tích phân bất định 2 vế, ta có: $\int f_{1} (x)dx =-\int f_{2} (y)dy \Leftrightarrow F(x)=-G(y)+C$. ($F(x)$ là một nguyên hàm của $f_{1} (x)$, $G(y)$ là một nguyên hàm của $f_{2} (y)$).
Vậy, tích phân tổng quát của phương trình có biến phân li là: $F(x)+G(y)=C$ ($C$ là hằng số tùy ý).
Ví dụ 3.
Giải phương trình vi phân $\dfrac{2x}{1+x^{2} } dx-3y^{2} dy=0$.
Lời giải.
$\dfrac{2x}{1+x^{2} } dx-3y^{2} dy=0\Leftrightarrow 3y^{2} dy=\dfrac{2x}{1+x^{2} } dx$. Lấy tích phân bất định 2 vế ta có: $$\int 3y^{2} dy =\int \frac{2x}{1+x^{2} } dx \Leftrightarrow y^{3} =\ln (1+x^{2} )+C.$$Vậy, tích phân tổng quát của phương trình đã cho là $y^{3} -\ln (1+x^{2} )=C$ ($C$ là hằng số tùy ý).
Ví dụ 4.
Giải phương trình vi phân $ydx+xdy=0$.
Lời giải.
Giả sử $x\ne 0$ và $y\ne 0$, nhân hai vế của phương trình đã cho với $\dfrac{1}{xy}$, ta có $$\dfrac{1}{x} dx+\dfrac{1}{y} dy=0$$$$\Leftrightarrow \dfrac{dy}{y} =-\dfrac{dx}{x}.$$ Lấy tích phân bất định 2 vế của đẳng thức trên, ta có: $$\int \dfrac{dy}{y} dy =-\int \dfrac{dx}{x} dx \Leftrightarrow \ln |y|=-\ln |x|+\ln |C|\Rightarrow y=\dfrac{C}{x}.$$Vậy, nghiệm phân tổng quát của phương trình đã cho là $y=\dfrac{C}{x}$ ($C$ là hằng số tùy ý).
Ngoài ra, bằng cách thử trực tiếp, ta thấy $x=0$, $y=0$ cũng là nghiệm của phương trình đã cho (nghiệm kì dị).
Phương trình đẳng cấp cấp một
Phương trình đẳng cấp cấp một là phương trình có dạng $$y'=f(x,y)\label{10.2.3}\tag{3}$$trong đó $f(x,y)$ có thể biểu diễn được thành hàm của tỉ số 2 đối số $f(x,y)=\varphi \left(\dfrac{y}{x} \right)$.
Ví dụ 5.
$\dfrac{dy}{dx} =1-\dfrac{y}{x} $; $\dfrac{dy}{dx} =\dfrac{x+y}{x-y}$... là các phương trình đẳng cấp cấp một.
Lời giải.
Phương trình đẳng cấp cấp một có dạng $\dfrac{dy}{dx} =\varphi \left(\dfrac{y}{x} \right)$.
Đặt $\dfrac{y}{x} =u$ hay $y=ux$ ($u$ là một hàm mới của biến).
Khi đó, $\dfrac{dy}{dx} =x.\dfrac{du}{dx} +u\Rightarrow x.\dfrac{du}{dx} +u=\varphi (u)$ hay $x.\dfrac{du}{dx} =\varphi (u)-u$.
Nếu $x.\dfrac{du}{dx} =\varphi (u)-u$, ta có $\dfrac{dx}{x} =\dfrac{du}{\varphi (u)-u} $.
Lấy tích phân bất định hai vế, ta có: $\ln |x|=\Phi (u)+\ln |C|$ (trong đó $\Phi (u)$ là một nguyên hàm của $\dfrac{1}{\varphi (u)-u})\Rightarrow x=Ce^{\Phi (u)}$ hay $x=Ce^{\Phi \left(\dfrac{y}{x} \right)}$
Vậy, tích phân tổng quát của phương trình đẳng cấp cấp một là $x=Ce^{\Phi \left(\dfrac{y}{x} \right)}$ ($C$ là hằng số tùy ý).
Nếu $\varphi (u)-u=0\Leftrightarrow \varphi (u)=u$ ta có: $\dfrac{dy}{dx} =\dfrac{y}{x}\Leftrightarrow \dfrac{dy}{y} =\dfrac{dx}{x}$ (phương trình có biến phân li). Lấy tích phân bất định hai vế, ta có: $\ln |y|=\ln |x|+\ln |C|\Rightarrow y=C.x$.
Ví dụ giải phương trình đẳng cấp cấp một
Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình đẳng cấp cấp một trong trường hợp $\varphi (u)=u$ là $y=C.x$ ($C$ là hằng số tùy ý).
Chú ý.
Nếu $\varphi (u)=u$ tại $u=u_{0}$ thì hàm $y=u_{0} .x$ cũng là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 6. Giải phương trình vi phân $y'=\dfrac{x+3y}{3x-y}$.
Hướng dẫn.
Trước hết ta cần đưa phương trình đã cho về phương trình đẳng cấp cấp một: $y'=\dfrac{x+3y}{3x-y}\Leftrightarrow y'=\dfrac{1+3\dfrac{y}{x} }{3-\dfrac{y}{x}}$.
Đặt $\dfrac{y}{x} =u$ hay $y=ux$. Khi đó, $$\dfrac{dy}{dx} =x.\dfrac{du}{dx} +u \Leftrightarrow x.\dfrac{du}{dx} =\varphi (u)-u.$$Ta có, $$x.\dfrac{du}{dx} =\dfrac{1+3u}{3-u} -u\Leftrightarrow x.\dfrac{du}{dx} =\dfrac{1+u^{2} }{3-u} \Leftrightarrow \dfrac{dx}{x} =\dfrac{(3-u)du}{1+u^{2} }\text{ (vì } \dfrac{1+u^{2} }{3-u} \ne 0$\text{).}$$Lấy tích phân bất định hai vế, ta có: \begin{align}&\int \dfrac{dx}{x} = 3\int \dfrac{du}{1+u^{2} } -\int \dfrac{udu}{1+u^{2} }\Leftrightarrow \int \dfrac{dx}{x} = 3\int \dfrac{du}{1+u^{2} } -\dfrac{1}{2} \int \dfrac{d(1+u^{2} )}{1+u^{2} }\\&\Leftrightarrow \ln |x|=3\arctan u-\dfrac{1}{2} \ln (1+u^{2} )+\ln |C| \Rightarrow \ln |x\sqrt{1+u^{2} } |=3\arctan u+\ln |C|\\&\Rightarrow x\sqrt{1+u^{2} } =Ce^{3\arctan u} \text{ hay }\sqrt{x^{2} +y^{2} } =Ce^{3\arctan \dfrac{y}{x} }.\end{align}Vậy, tích phân tổng quát của phương trình đã cho là: $\sqrt{x^{2} +y^{2} } =Ce^{3\arctan \frac{y}{x} } $ ($C$ là hằng số tùy ý).
Phương trình vi phân tuyến tính cấp một
Định nghĩa. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một là phương trình vi phân có dạng $$y'+p(x)y=q(x)\label{10.2.4}\tag{4}$$trong đó $p(x),{\rm \; }q(x)$ là những hàm liên tục của $x$.
Nếu $q(x)=0$ thì ta có phương trình $y'+p(x)y=0$ và gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất (tương ứng của phương trình \eqref{10.2.4}).
Nếu $q(x)\neq 0$ thì phương trình \eqref{10.2.4} được gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất.
Ví dụ 7.
$y'-\dfrac{2x}{3+x^{2} } y=0$; $y'-2xy=x^{2} e^{x^{2} }$ là các phương trình tuyến tính thuần nhất.
Cách giải (Phương pháp biến thiên hằng số Lagerange)
Trước hết, ta xét phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng của phương trình \eqref{10.2.4}: $y'+p(x)y=0$ hay $\dfrac{dy}{dx} =-p(x)y$.
Nếu $y\ne 0$, ta có phương trình $\dfrac{dy}{y} =-p(x)dx$ (phương trình vi phân có biến phân li)
Lấy tích phân bất định 2 vế, ta có $\ln |y|=-\int p(x)dx +\ln |C|$$\Rightarrow y=Ce^{-\int p(x)dx } $ ($C$ là hằng số tùy ý).
Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng là:$y=Ce^{-\int p(x)dx } $ (*) ($C$ là hằng số tùy ý).
Ngoài ra, bằng cách thử trực tiếp, thấy $y=0$ cũng là nghiệm của phương trình tuyến tính thuần nhất (là nghiệm riêng ứng với $C=0$)
Bây giờ, xem $C$ trong (*) không phải là hằng số mà là một hàm của biến $x$ ($C=C(x)$).
Ta tìm $C$ để (*) trở thành nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất \eqref{10.2.4}.
Muốn vậy, ta lấy đạo hàm 2 vế của (*), ta có $$y'=C'e^{-\int p(x)dx } -Cp(x)e^{-\int p(x)dx}.$$Thế $y,{\rm \; }y'$ vào phương trình \eqref{10.2.4} ta có \begin{align}&C'e^{-\int p(x)dx } -Cp(x)e^{-\int p(x)dx } +p(x)Ce^{-\int p(x)dx } =q(x)\Leftrightarrow C'e^{-\int p(x)dx } =q(x)\\&\Leftrightarrow C'=q(x)e^{\int p(x)dx } \text{ hay }dC=q(x)e^{\int p(x)dx } dx.\end{align}Lấy tích phân bất định 2 vế, ta có: $$C=\int q(x)e^{\int p(x)dx } dx +K (K \text{ là hằng số tùy ý}).$$Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất \eqref{10.2.4} là $$y=\left(\int q(x)e^{\int p(x)dx } dx +K\right)e^{-\int p(x)dx } \text{ hay} y=e^{-\int p(x)dx } \int q(x)e^{\int p(x)dx } dx +Ke^{-\int p(x)dx } ,{\rm \; }K\text{-const}.$$
Nhận xét.
Ứng với $K=0$ thì $e^{-\int p(x)dx } \int q(x)e^{\int p(x)dx } dx $ là một nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất \eqref{10.2.4}. Mặt khác $Ke^{-\int p(x)dx }$ là nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng.
Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất bằng nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng cộng với một nghiệm riêng nào đó của phương trình tuyến tính không thuần nhất.
Ví dụ 8.
Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân $y'-\dfrac{2x}{3+x^{2} } y=0$ thỏa mãn điều kiện đầu $y(0)=3$.
Hướng dẫn.
Trước hết ta tìm nghiệm tổng quát của phương trình đã cho: $$y'-\dfrac{2x}{3+x^{2} } y=0\Leftrightarrow \dfrac{dy}{y} =\dfrac{2xdx}{3+x^{2}}.$$Lấy tích phân bất định 2 vế, ta có $$\ln |y|=\ln (3+x^{2} )+\ln |C|\Rightarrow y=C(3+x^{2} ) \,(C \text{ là hằng số tùy ý}).$$
Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là $y=C(3+x^{2} )$ ($C$ là hằng số tùy ý).
Với điều kiện đầu $y(0)=3$, ta có: $3=C(3+0)\Rightarrow C=1$.
Vậy, nghiệm riêng của phương trình đã cho thỏa mãn điều kiện đầu cho trước là $y=3+x^{2} $.
Ví dụ 9.
Giải phương trình vi phân $y'-2xy=x^{2} e^{x^{2} } $.
Hướng dẫn.
Trước tiên, ta xét phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng $y'-2xy=0$ hay $y'=2xy$ hay $\dfrac{dy}{y} =2xdx$.
Lấy tích phân bất định 2 vế: $\ln |y|=x^{2} +\ln |C|\Rightarrow y=Ce^{x^{2} }$ ($C$ là hằng số tùy ý).
Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng là $y=Ce^{x^{2} }$ (*) ($C$ là hằng số tùy ý).
Tiếp theo, xem $C=C(x)$, lấy đạo hàm 2 vế của đẳng thức (*) ta có: $$y'=C'e^{x^{2} } +C2xe^{x^{2} }.$$ Thế $y,\,y'$ vào phương trình đã cho, ta có $$C'e^{x^{2} } +C2xe^{x^{2} } -2xCe^{x^{2} } =x^{2} e^{x^{2} } \Leftrightarrow C'e^{x^{2} } =x^{2} e^{x^{2} } \Leftrightarrow C'=x^{2} \text{ hay }dC=x^{2} dx.$$Lấy tích phân bất định 2 vế: $C=\dfrac{1}{3} x^{3} +K,{\rm \; }K\text{-const}$.
Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: $y=\left(\dfrac{1}{3} x^{3} +K\right)e^{x^{2} },{\rm \; }K\text{-const}$.
Ví dụ giải phương trình vi phân tuyến tính cấp một
Ví dụ 10.
Giải phương trình vi phân $y'-2xy=3x$.
Hướng dẫn.
Ta có thể trình bày theo 2 cách:
Cách 1. Áp dụng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange (giải tương tự Ví dụ 10).
Trước tiên, ta giải phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng $y'-2xy=0$.
Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng là $y=Ce^{x^{2} } $(*) ($C$ là hằng số tùy ý).
Tiếp theo, xem $C=C(x)$, lấy đạo hàm 2 vế của đẳng thức (*) và thế $y,{\rm \; }y'$ vào phương trình đã cho để tìm $C$ $$C'e^{x^{2} } +C2xe^{x^{2} } -2xCe^{x^{2} } =3x\Leftrightarrow C'e^{x^{2} } =3x\Leftrightarrow C'=3xe^{-x^{2}}\text{ hay }dC=3xe^{-x^{2} } dx.$$Lấy tích phân bất định 2 vế: $C=-\dfrac{3}{2} e^{-x^{2} } +K,{\rm \; }K\text{-const}$.
Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: $$y=\left(-\dfrac{3}{2} e^{-x^{2} } +K\right)e^{x^{2} } ,{\rm \; }K\text{-const hay }y=-\dfrac{3}{2} +Ke^{x^{2} } ,{\rm \; }K\text{-const}.$$
Cách 2. Biến đổi để đưa về phương trình vi phân có biến phân li $$y'-2xy=3x\Leftrightarrow \dfrac{dy}{2y+3} =xdx.$$Lấy tích phân bất định 2 vế: $$\dfrac{1}{2} \ln |2y+3|=\dfrac{1}{2} x^{2} +\dfrac{1}{2} \ln |C|,{\rm \; }C\text{-const}\Leftrightarrow \ln |2y+3|=x^{2} +\ln |C|\Rightarrow 2y+3=Ce^{x^{2} } ,{\rm \; }C\text{-const}$$ hay $y=-\dfrac{3}{2} +Ke^{x^{2} } ,{\rm \; }K=\dfrac{C}{2}$.
Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là $y=-\dfrac{3}{2} +Ke^{x^{2} } ,{\rm \; }K\text{-const}$.
Phương trình Bernoulli
Phương trình Bernoulli là phương trình có dạng $$y'+p(x)y=q(x)y^{\alpha }\label{10.2.5}\tag{5}$$trong đó $p(x),{\rm \; }q(x)$ là những hàm liên tục của $x$ và $\alpha $ là một số thực bất kỳ.
Cách giải
Nếu $\alpha =0$ thì phương trình \eqref{10.2.5} là phương trình tuyến tính $y'+p(x)y=q(x)$.
Nếu $\alpha =1$ thì phương trình \eqref{10.2.5} là phương trình tuyến tính thuần nhất $y'+\left[p(x)-q(x)\right]y=0$.
Nếu $\alpha \ne 0$ và $\alpha \ne 1$:
Giả sử $y\ne 0$: Ta chia 2 vế của phương trình \eqref{10.2.5} cho $y^{\alpha }$: $y^{-\alpha } y'+p(x)y^{1-\alpha } =q(x)$.
Tiếp theo, thực hiện phép đổi biến, để đưa phương trình trên về phương trình tuyến tính quen thuộc.
Đặt $t=y^{1-\alpha }$, ta có $t'=(1-\alpha )y^{1-\alpha -1} y'=(1-\alpha )y^{-\alpha } y'$.
Do đó, ta có phương trình $\dfrac{1}{1-\alpha } t'+p(x)t=q(x)$.
Hay $t'+(1-\alpha )p(x)t=(1-\alpha )q(x)$ đây là phương trình tuyến tính cấp một đối với hàm $t$ biến $x$. Sau khi tìm được nghiệm tổng quát của phương trình này, trở về biến $y$ ta được nghiệm của phương trình Bernoulli.
Bằng cách thử trực tiếp, thấy $y=0$ cũng là nghiệm của phương trình Bernoulli.
Ví dụ 11.
Giải phương trình vi phân $y'-2xy=x^{3} y^{2} $.
Hướng dẫn. Vì $\alpha =2$ ($\alpha \ne 0$ và $\alpha \ne 1$) nên giả sử $y\ne 0$, chia 2 vế của phương trình cho $y^{2}$ và đặt $t=y^{-1} =\dfrac{1}{y} $, ta đưa được phương trình đã cho về phương trình tuyến tính cấp một: $t'+2xt=-x^{3}$.
Tương tự Ví dụ 9 và 10, ta tìm được nghiệm tổng quát của phương trình này là: $t=Ce^{-x^{2} } +1-x^{2} ,{\rm \; \; }C\text{-const}$.
Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là $y=\dfrac{1}{Ce^{-x^{2} } +1-x^{2} }$ ($C$ là hằng số tùy ý).
Ngoài ra, bằng cách thử trực tiếp thấy $y=0$ cũng là nghiệm của phương trình đã cho và là nghiệm kì dị.
