8.4 Ứng dụng của tích phân bội hai

Tính thể tích vật thể

Thể tích của vật thể hình trụ giới hạn bởi mặt phẳng $Oxy$, một mặt trụ có đường sinh song song với trục $Oz$ và một mặt cong có phương trình $z=f(x,y)\ge 0$ ($f(x,y)$ liên tục và đơn trị trên $D$) là $$V=\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy.$$

Ví dụ 7.

Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt sau: $z=0;{\rm \; }z=2-x^{2} -y^{2} ;{\rm \; }x^{2} +y^{2} =1$.

Hướng dẫn.

Theo Ví dụ 2, ta có $$V=\iint\limits_{x^{2} +y^{2} \le 1}(2-x^{2} -y^{2} )dxdy.$$Chuyển sang tọa độ cực, ta có $$V=\iint\limits_{x^{2} +y^{2} \le 1}(2-x^{2} -y^{2} )dxdy =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{1}(2-r^{2} )rdr =\dfrac{3}{2} \pi \text{ (đvtt)}.$$

Tính tích phân bội hai trong hệ tọa độ cực

Tính diện tích hình phẳng

Diện tích của hình phẳng $D$ được cho bởi $S_{D} =\iint\limits_{D}dxdy $.

Ví dụ 8. Tính diện tích miền $D$ được giới hạn bởi các đường $x=2;y=x;y=x^2.$

Trước hết ta căn cứ vào đồ thị (biểu diễn miền $D$) để xác định đúng miền $D$: $$D_{1}:\left\{\begin{array}{l} {0\le x\le 1} \\ {x^{2} \le y\le x} \end{array}\right. \cup D_{2} :\left\{\begin{array}{l} {1\le x\le 2} \\ {x\le y\le x^{2} } \end{array}\right.$$ Để tính diện tích miền $D$ và tính tích phân I ta áp dụng công thức (5) và tính chất 3. Vậy \begin{align}S_{D}&=\iint\limits_{D}dxdy =\iint\limits_{D_{1} }dxdy +\iint\limits_{D_{2} }dxdy =\int _{0}^{1}dx \int _{x^{2} }^{x}dy +\int _{1}^{2}dx \int _{x}^{x^{2} }dy\\&=\int _{0}^{1}\left. y\right|_{y=x^{2} }^{y=x} dx +\int _{1}^{2}\left. y\right|_{y=x}^{y=x^{2} } dx =\int _{0}^{1}(x-x^{2} )dx +\int _{1}^{2}(x^{2} -x)dx =1\text{ (đvdt).}\end{align}

Tính diện tích mặt cong

Xét mặt cong $P$ (giới hạn bởi một đường kín) có phương trình $z=f(x,y)$ ($f(x,y)$ (liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục)

Gọi $D$ là hình chiếu vuông góc của $P$ lên mặt phẳng $Oxy$.

Ta có công thức tính diện tích của mặt cong $P$: $$S_{P} =\iint\limits_{D}\sqrt{1+(z'{}_{x} )^{2} +(z'{}_{y} )^{2} } dxdy.$$

Ví dụ 9

Tính diện tích phần mặt paraboloit $z=x^{2} +y^{2}$ bị cắt bởi mặt trụ $x^{2} +y^{2} =1$.

Hướng dẫn.

Ta cần xác định miền $D$-hình chiếu vuông góc của $P$ lên mặt phẳng $Oxy$: hình tròn $x^{2} +y^{2} \le 1$.

Tiếp theo, ta tính $z'{}_{x} ;z'{}_{y} $ là: $z'{}_{x} =2x;{\rm \; }z'{}_{y} =2y$. Vậy, $$S_{P} =\iint\limits_{D}\sqrt{1+(z'{}_{x} )^{2} +(z'{}_{y} )^{2} } dxdy =\iint\limits_{x^{2} +y^{2} \le 1}\sqrt{1+4(x^{2} +y^{2} )} dxdy.$$ Chuyển sang tọa độ cực, ta có: $$S_{P} =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{1}\sqrt{1+4r^{2} } rdr =2\pi \cdot \dfrac{1}{12} \cdot \left. (1+4r^{2} )\right|_{0}^{1} =\dfrac{\pi }{6} (5\sqrt{5} -1)\text{ (đvdt)}.$$

Tính khối lượng bản phẳng không đồng chất

Cho một bản phẳng chiếm miền $D$ trong mặt phẳng $Oxy$ và có khối lượng riêng tại điểm $M(x,y)\in D$ là $\rho =\rho (x,y)$ ($\rho (x,y)$ liên tục trên $D$). Khi đó, khối lượng của bản phẳng là $$M_{D} =\iint\limits_{D}\rho (x,y)dxdy.$$

Ví dụ 10.

Tính khối lượng của bản phẳng hình tròn tâm $O(0,0)$ bán kính $R$ biết rằng khối lượng riêng $\rho =\rho(x,y)=3\sqrt{x^{2} +y^{2} }$.

Lời giải.

Ta có $$M_{D}=\iint\limits_{x^{2} +y^{2} \le R^{2} }3\sqrt{x^{2} +y^{2} } dxdy.$$ Chuyển sang hệ tọa độ cực $$M_{D} =\iint\limits_{x^{2} +y^{2} \le R^{2} }3\sqrt{x^{2} +y^{2} } dxdy =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{R}3r^{2} dr =2\pi \cdot r^{3} \Big|_{0}^{R} =2\pi R^{3}\text{ (đvkl)}.$$