Ta có $m=\iiint\limits _{V}f(x,y,z)dxdydz $ với $V$ là vật thể hình trụ được giới hạn bởi các mặt $z=0;z=x^{2} +y^{2} ;x^{2} +y^{2} =4$.

Hình chiếu của $V$ lên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ (chính là đáy của vật thể): $D=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2} |x^{2} +y^{2} \le 4\right\}$.

Áp dụng công thức $$m=\iiint\limits _{V}f(x,y,z)dxdydz =\iint\limits _{D}dxdy \int _{z_{1} (x,y)}^{z_{2} (x,y)}f(x,y,z)dz $$ ta có $$m =3\iint\limits _{x^{2} +y^{2} \le 4}(z_{2} (x,y)-z_{1} (x,y))dxdy$.

Tiếp theo, chuyển sang tọa độ cực để tính tích phân $\iint\limits _{x^{2} +y^{2} \le 4}(z_{2} (x,y)-z_{1} (x,y))dxdy $ (chú ý xác định đúng miền $D$ trong tọa độ cực) và đưa ra kết quả cần tìm.

Trước hết, các em phải biểu diễn đúng miền $V$:  $\left\{\begin{array}{l} {{\rm a}\le {\rm x}\le {\rm b}} \\ {{\rm y}_{{\rm 1}} {\rm (x)}\le {\rm y}\le {\rm y}_{{\rm 2}} {\rm (x)}} \\ {{\rm z}_{{\rm 1}} {\rm (x,y)}\le {\rm z}\le {\rm z}_{{\rm 2}} {\rm (x,y)}} \end{array}\right. $

Các em có thể vẽ hình miền $V$. Sau khi xác định khối vật thể $V$, các em tìm hình chiếu vuông góc của $V$ xuống mặt phẳng tọa độ $Oxy$ (gọi là miền $D$), tiếp tục tìm hình chiếu vuông góc của $D$ lên trục $Ox$. Căn cứ vào các dữ liệu trên để biểu diễn đúng miền $V$.

Sau đó, thay vào công thức $$\iiint\limits _{V}f(x,y,z)dxdydz =\int _{a}^{b}dx\int _{y_{1} (x)}^{y_{2} (x)}dy\int _{z_{1} (x,y)}^{z_{2} (x,y)}f(x,y,z)dz $$ nghĩa là đưa về tính tích phân $$\int _{a}^{b}dx\int _{y_{1} (x)}^{y_{2} (x)}dy\int _{z_{1} (x,y)}^{z_{2} (x,y)}dz $$ tính tích phân theo biến $z$ trước, tiếp theo là tính tích phân theo biến $y$ và cuối cùng tính tích phân theo biến $x$.

Trước hết, các em phải biểu diễn đúng miền $V$: $\left\{\begin{array}{l} {{\rm a}\le {\rm x}\le {\rm b}} \\ {{\rm y}_{{\rm 1}} {\rm (x)}\le {\rm y}\le {\rm y}_{{\rm 2}} {\rm (x)}} \\ {{\rm z}_{{\rm 1}} {\rm (x,y)}\le {\rm z}\le {\rm z}_{{\rm 2}} {\rm (x,y)}} \end{array}\right. $

Các em có thể vẽ hình miền $V$. Sau khi xác định khối vật thể $V$, các em tìm hình chiếu vuông góc của $V$ xuống mặt phẳng tọa độ $Oxy$ (gọi là miền $D$), tiếp tục tìm hình chiếu vuông góc của $D$ lên trục $Ox$. Căn cứ vào các dữ liệu trên để biểu diễn đúng miền $V$.

Sau đó, thay vào công thức $$\iiint\limits _{V}f(x,y,z)dxdydz =\int _{a}^{b}dx\int _{y_{1} (x)}^{y_{2} (x)}dy\int _{z_{1} (x,y)}^{z_{2} (x,y)}f(x,y,z)dz $$ nghĩa là đưa về tính tích phân $$I=\int _{a}^{b}dx\int _{y_{1} (x)}^{y_{2} (x)}dy\int _{z_{1} (x,y)}^{z_{2} (x,y)}zdz$$ tính tích phân theo biến $z$ trước, tiếp theo là tính tích phân theo biến $y$ và cuối cùng tính tích phân theo biến $x$).

HD: xác định hình chiếu của $V$ lên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ (chính là đáy của vật thể): $D=\left\{(x,y)\in \mathbb R^{2} |x^{2} +y^{2} \le 4\right\}$.

Áp dụng công thức:  $\iiint\limits _{V}f(x,y,z)dxdydz =\iint\limits _{D}dxdy \int _{z_{1} (x,y)}^{z_{2} (x,y)}f(x,y,z)dz $. Ta có $$I=\iint\limits _{x^{2} +y^{2} \le 4}(z_{2} (x,y)-z_{1} (x,y))dxdy.$$Tiếp theo, chuyển sang tọa độ cực để tính tích phân $\iint\limits _{x^{2} +y^{2} \le 4}(z_{2} (x,y)-z_{1} (x,y))dxdy$ (chú ý xác định đúng miền $D$ trong tọa độ cực).

Ta có  $V=\iiint\limits _{V}dxdydz $.

Trước hết, tìm giao của 2 mặt $z=1$ và ${\rm \; }z=5-x^{2} -y^{2} $ (là hình tròn tâm I(0,0,1), bán kính bằng 2 nằm trên mặt $z=1$).

Tiếp theo, xác định miền $D$-hình chiếu vuông góc của vật thể lên mặt phẳng $Oxy$ (là hình tròn tâm O(0,0,0), bán kính bằng 2.

Áp dụng công thức: $$\iiint\limits _{V}dxdydz= \iint\limits _{D}dxdy \int _{z_{1} (x,y)}^{z_{2} (x,y)}dz $$ ta đưa bài toán về tìm tích phân bội 2 $$\iiint\limits _{V}dxdydz= \iint\limits _{D}(z_{2} (x,y)-z_{1} (x,y))dxdy.$$Để tính tích phân bội 2 (vế phải) ta nên chuyển sang hệ tọa độ cực, chú ý biểu diễn đúng miền $D':\begin{cases}&\varphi _{1} \le \varphi \le \varphi _{2};\\&r_{1} (\varphi )\le r\le r_{2} (\varphi )\end{cases}$.$$\iint\limits _{D}f(x,y)dxdy =\iint\limits _{D'}f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )rd\varphi dr =\int _{\varphi _{1} }^{\varphi _{2} }d\varphi \int _{r_{1} (\varphi )}^{r_{2} (\varphi )}f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )rdr )$$

HD: xác định hình dáng của vật thể $V$ (là vật thể hình trụ có đáy $D=\left\{(x,y)\in \mathbb R^{2} |x^{2} +y^{2} \le 1\right\}$  nằm trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, xung quanh là mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz, phía trên được giới hạn bởi mặt cong có phương trình $z=10-x^{2} -y^{2}).

Áp dụng công thức: $$\iiint\limits _{V}f(x,y,z)dxdydz =\iint\limits _{D}dxdy \int _{z_{1} (x,y)}^{z_{2} (x,y)}f(x,y,z)dz $.

Ta có, thể tích vật thể cần tìm: $$\iiint\limits _{V}dxdydz =\iint\limits _{D}dxdy \int _{z_{1} (x,y)}^{z_{2} (x,y)}dz =\iint\limits _{x^{2} +y^{2} \le 1}(z_{2} (x,y)-z_{1} (x,y))dxdy.$$Tiếp theo, chuyển sang tọa độ cực để tính tích phân $\iint\limits _{x^{2} +y^{2} \le 1}(z_{2} (x,y)-z_{1} (x,y))dxdy $ (chú ý xác định đúng miền $D$ trong tọa độ cực).

Trước hết, các em phải biểu diễn đúng miền $V$: $\left\{\begin{array}{l} {{\rm a}\le {\rm x}\le {\rm b},} \\ {{\rm y}_{{\rm 1}} {\rm (x)}\le {\rm y}\le {\rm y}_{{\rm 2}} {\rm (x)},} \\ {{\rm z}_{{\rm 1}} {\rm (x,y)}\le {\rm z}\le {\rm z}_{{\rm 2}} {\rm (x,y)}.} \end{array}\right. $

Các em có thể vẽ hình miền $V$. Sau khi xác định khối vật thể $V$, các em tìm hình chiếu vuông góc của $V$ xuống mặt phẳng tọa độ $Oxy$ (gọi là miền $D$), tiếp tục tìm hình chiếu vuông góc của $D$ lên trục $Ox$. Căn cứ vào các dữ liệu trên để biểu diễn đúng miền $V$.

Sau đó, thay vào công thức $$\iiint\limits _{V}f(x,y,z)dxdydz =\int _{a}^{b}dx\int _{y_{1} (x)}^{y_{2} (x)}dy\int _{z_{1} (x,y)}^{z_{2} (x,y)}f(x,y,z)dz$$ nghĩa là đưa về tính tích phân $$I=\int _{a}^{b}(1-x)dx\int _{y_{1} (x)}^{y_{2} (x)}dy\int _{z_{1} (x,y)}^{z_{2} (x,y)}dz $$ tính tích phân theo biến $z$ trước, tiếp theo là tính tích phân theo biến $y$ và cuối cùng tính tích phân theo biến $x$.

Trước hết, các em phải biểu diễn đúng miền $V$: $\left\{\begin{array}{l} {{\rm a}\le {\rm x}\le {\rm b},} \\ {{\rm y}_{{\rm 1}} {\rm (x)}\le {\rm y}\le {\rm y}_{{\rm 2}} {\rm (x)},} \\ {{\rm z}_{{\rm 1}} {\rm (x,y)}\le {\rm z}\le {\rm z}_{{\rm 2}} {\rm (x,y)}.} \end{array}\right. $

Các em có thể vẽ hình miền $V$. Sau khi xác định khối vật thể $V$, các em tìm hình chiếu vuông góc của $V$ xuống mặt phẳng tọa độ $Oxy$ (gọi là miền $D$), tiếp tục tìm hình chiếu vuông góc của $D$ lên trục $Ox$. Căn cứ vào các dữ liệu trên để biểu diễn đúng miền $V$.

Sau đó, thay vào công thức $$\iiint\limits _{V}f(x,y,z)dxdydz =\int _{a}^{b}dx\int _{y_{1} (x)}^{y_{2} (x)}dy\int _{z_{1} (x,y)}^{z_{2} (x,y)}f(x,y,z)dz $$ nghĩa là đưa về tính tích phân $$I=\int _{a}^{b}(1-x)dx\int _{y_{1} (x)}^{y_{2} (x)}dy\int _{z_{1} (x,y)}^{z_{2} (x,y)}dz $$ tính tích phân theo biến $z$ trước, tiếp theo là tính tích phân theo biến $y$ và cuối cùng tính tích phân theo biến $x$.

Trước hết, các em có thể vẽ hình miền $V$. Sau khi xác định khối vật thể $V$, các em tìm hình chiếu vuông góc của $V$ xuống mặt phẳng tọa độ $Oxy$ (gọi là miền $D$), tiếp tục tìm hình chiếu vuông góc của $D$ lên trục $Ox$. Cuối cùng, căn cứ vào các dữ liệu trên để biểu diễn miền $V$: $\left\{\begin{array}{l} {{\rm a}\le {\rm x}\le {\rm b},} \\ {{\rm y}_{{\rm 1}} {\rm (x)}\le {\rm y}\le {\rm y}_{{\rm 2}} {\rm (x)},} \\ {{\rm z}_{{\rm 1}} {\rm (x,y)}\le {\rm z}\le {\rm z}_{{\rm 2}} {\rm (x,y)}.} \end{array}\right. $

Trước hết, các em có thể vẽ hình miền $V$. Sau khi xác định khối vật thể $V$ (nửa hình cầu tâm $O$ bán kính 2 ứng với $z\ge 0$), các em tìm hình chiếu vuông góc của $V$ xuống mặt phẳng tọa độ $Oxy$ (miền $D:\left\{(x,y)\in {\rm R}^{2} |x^{2} +y^{2} \le 4\right\}$)).

Cuối cùng, căn cứ vào các dữ liệu trên để biểu diễn đúng miền $V$.